【MoL】別の本にスイッチを検討

AIMAの推薦ということで、Quine の Methods of Logic をやってきたが、どうも私では英語力が足りない感じ。英語の勉強をしている度合いがどんどん高まってしまっている。英語力は英語力で向上したいのだが、この本を使ってそれをというのは本意ではない。

そこで、別の本、ということで、

論理学の基礎と演習 (Language, Proof and Logic)

を試してみている。とりあえず、一章を完了したところではいい感じ。

この本の特色は、

• 演習が豊富。
  
• 演習をしたり論理を試すためのソフトウエアがついていて、遊びながら進める。
  
• 演習問題の約半数はソフトウエアで解くもの。そしてその結果を投稿するとサーバが採点してくれる。
  
• 英文だが本文全てがPDFで提供されている！　
  

というところ。

もう少し試して、いけそうならば、こちらにスイッチする。

こつこつ。

【MoL】28 Substitution Extended

ちょっと間があいてしまった。いかんなぁ。

• monadic quantificational schemata から sentences を作るということは、substitution of abstracts によってスムースに取扱うことができた。
  
  
  
  • なんだったっけ?
    
  • monadic quantificational schemata から sentences をつくる方法を決める。
    
  • 'Fx'について決めれば、あとは truth-functional でいけるだろう。
    
  • 'Fx'を再度、'F'と'x'に分解して考える。{w: Fw}x <-> Fx であった。
    
  • 'F' は常にa term abstract として書ける。
    
  • 'x' は a free variable であり、'a' などのan object と同等である。
    
  • というわけで、monadic quantificational schemata から sentences をつくるには、term abstracts の部分に open sentences を入れればよい、ということになった。
    
  
  
• polyadic schemata ではどうか。また'Fxy'、'Fyx' と 'Fxx' というのはどういう関係にあるのか。
  
• さて、まず sentences となった状態を考える。
  ∃x(y amuses x more than y amuses y)
  ∨ ∃x(x amuses y more than y amuses x)
  .-> ∃x(x amuses x more than y amuses x).
  
• これが、
  ∃xFxy ∨ ∃xFyx .-> ∃xFxx.
  に対して何らかの substitutions を実施した結果として得られるようにしたい。
  
• polyadic な abstracts を導入する。
  ここでいえば、
  
  F : {zw: w amuses z more than y amuses w}.
  
  である。
  
• さて、monadic の場合は、term abstracts というのは英語の関係節の拡張というか抽象であった。
  
• では、polyadic の場合は、何なのか。これも英語の関係節の拡張というか抽象である。ただし英語の中に、よく相当するものは存在しない。
  
• その理由のひとつに、英語での関係節というのは、ほとんどの場合が、関係節単体で使われるのではなく、限量子と関係節の組み合わせとして使われるということがある。
  
• ひとたび、限量子と組み合わせられると、polyadic の term abstracts は monadic の term abstracts で表現できてしまう。
  例：
  ∃{xy: x saved y from drowning}.
  ∃{x: ∃{y: x saved y from drowning}.
  
  
• という訳で、polyadic relative clauses というのは、自然言語にはあらわれない a godsend だ！　長い道程、論理と言語を精査してきた結果、自然言語を超えて得られたものだ。
  

こつこつ。

【MoL】27 Schemata Extended (3)

• '∀x∃yFxy' と '∃y∀xFxy' の違い。
  'Fxy' を 'x and y are the same thing' であるとする。
  
  すると、
  
  7: '∀x∃y(x and y are the same thing)'
  8: '∃y∀x(x and y are the same thing)'
  
  となる。
  
  7について考える。何を an object x として選んでも、そのx自身についてはFはなりたつので、7は真である。
  8について考える。an universe が an object x ひとつしか含まないとする。すると、8は真である。しかし、objects が二つ以上ある場合は、「他の全てと同じとなるan objectが存在する」というのは偽である。
  
  
• さて、この章で導入したものはmonadicに限らない the quantificational schemata である。'p', 'q', 'Fx', 'Fy', 'Gx', 'Hxy', 'Hxx', 'Fxyz' などなど。
  
• これによって、schemataの表現力があがることをここまでみてきた。
  
• schemata が拡張された以外は、interpretation であったり、validityであったりの定義は以前と同じ。
  
• しかし、34章でやることだが、validityやconsistencyを判断するための a decision procedure となる機構は構築不可能なのである。
  
• a decision procedure for validity が無いことは、procedures for proving validity の存在を否定するものではない。これはありえる。それを構築するのがPart III の主題。
  

こつこつ。

【MoL】27 Schemata Extended (2)

• 推論(inference)について考える。
  
• All circles are figures; ∴ All who draw circles draw figures.
  
• この推論を monadic schemata に変換してみる。
  
• 'F'を「円である」、'G'を「図形である」とすると、前提(the premise)は、
  
  ∀x(Fx -> Gx).
  
  となる。
  結論(the conclusionは、'H'を'{w: w draws a circle}'として、'J'を'{w: w draws a figure}'とすると、
  
  ∀x(Hx -> Jx).
  
  となる。これ、一応それぞれを表現はしているけど、この前提の表現から結論は、推論によっては導かれない。
  
  
• そこで、dyadic schemata。
  
• 'F'と'G'は上のままとし、'Hyx'を'y draws x'とすると、結論は、
  
  ∀y[∃x(Fx . Hyx) -> ∃x(Gx . Hyx)].
  
  と表現できる。これ、ちょっとしっくりこない。 ∀y∃x[(Fx . Hyx) -> (Gx . Hyx)] の方が合っているような気もする。でもこちらがよろしくないのは、'∀x(Fx -> Gx)'の内容を含んじゃっているから、だろうな。なので、前提、
  
  ∀x(Fx -> Gx).
  
  から、上の結論が imply される、という全体構成になるのが正しいと。
  
  
• 次の例。
  Premise : There is a painting that all critics admire;
  Conclusion : Every critic admires some painting or other.
  
  これをdyadic schemata で表す。
  'Gx' : 'x is a critic'
  'Hxy' : 'x admires y'
  'Fy' : 'y is a painting'
  Premise : '∃y(Fy . ∀x(Gx -> Hxy))'
  Conclusion : '∀x[Gx -> ∃y(Fy . Hxy)]'
  
  うーん。dyadic schemata になると自然言語との対応がやたら難しくなる。
  
  
• 次の例。
  Premise : There is a philosopher whom all philosophers contradict.
  Conclusion : There is a philosopher who contradicts himself.
  
  'Fx' : 'x is a philosopher'
  'Gxy' : 'y contradicts x'
  Premise : '∃y[Fy . ∀x(Fx -> Gxy)]'
  Conclusion : '∃x(Fx . Gxx)'
  

一日あたりちょっとしか進まないのがなんとも。。。
こつこつ。

【MoL】27 Schemata Extended

ついに、Part III General Theory of Quantification に突入。ここがFOLの本丸か。
なお、なんでQuineのMoLをやっているかというと、実は、AIMAの論理エージェントのところで、FOLに入門するなら古いけどこれが現在でももっともよい、とあったから。確かによい本。でも、英語のネイティブか、英語に結構慣れた人じゃないと、Norvigが言っているほど初心者向けではないと思う。

• terms は論理学の伝統的にいうと二種類にわかれる。relative と absolute だ。
  
• absolute は、今まで取り扱ってきたもの。wicked とか mortal とか。
  
• relative は、father とか north とか。これらは、'father of Issac' とか 'north of Boston'というように、他の何かに相対的な意味をもっているというもの。
  
• relative terms は absolute terms っぽく使用することができる。例えば、'Abraham is a father' など。ただし、暗黙の existential quantification があると言える。この例でいうと、'there is something of which Abraham is a father'など。
  
  
• 英語では、relative terms である目印は、'of' と 所有の's'である。'father of Issac' や 'Issac's father' など。これらは、元来の「所有」として素朴に使われているのではなく、Issac と father relation にある何か、を表している。
  
  
• さて、以上は伝統的な論理学。ここでは、absolute, relative ではなく、monadic, polyadic (特にdyadic) と呼ぶことにする。
  
• monadic terms というのは、それが自然言語にて、名詞として表現されているか、形容詞として表現されているか、動詞として表現されているかに関わらず、論理的には、単に an object に対して、true/false of となるようなものであった。
  
• dyadic terms も、言語上の表現については同様に捨象してよい部分があり、とどのつまり、2つのobjects について、true/false of となるものであり、関係を表すものといえる。そこで、dyadic terms を 'Fxy' 'x is F to y' などと書くことにする。
  
• 'F' を固定してしまえば、'Fxy'と'Fyx'は原則違うものである。例：'Jesus helps Lazarus', 'Lazarus helps Jesus'.
  
• triadic 'Gxyz', tetradic 'Hxyzw' とかもあるよ。自然言語に直すと、'x pays y to z for w' など。
  

こつこつ。

【MoL】26 Substitution

• websterによる substitute の意味。(抜粋)
  1 to put or use in the place of another
  2 to take the place of : replace
  
  日本語でいうと、代替、交代、代用というあたりか。
  
  
• さて、論理学(logical theory)では、the schemata が関心の中心である。
  
• しかし最終的に行き着くのは the sentence である。つまり自然言語としてどういうものなのか、ということ。
  
• schemata というのは、あくまで sentences を研究するために、それらの logical forms を表現するための仕組みにすぎない。
  
• the schemata と それが schematize している the sentences の関係が substitution である。
  
• "We get the sentence by substituting in the schema."
  
  
• まず、truth-functional schemata。
  
• これは単純。
  
• "... just substitute sentences for sentence letters."
  
  
• 次に、Boolean schemata。
  
• これも単純。
  
• "... substitute general terms for term letters."
  
• なお、general terms は objects が true of または false of となるようなものであった。
  
  
• 最後に、quantification。
  
• ここで複雑になる。
  
• 例えば'Fx'というのは、a variable x を含んでいる未分析な a sentence を表しているからだ。
  
• 未分析だからといって、例えば'Fx'と'Fy'にまったく別の sentences を substitute していいというわけではない。'Fx' と 'Fy'に substitute する sentences には共通点がある。
  
• 'Fx'と'Fy'は、'Fx'において 'x' が自由出現しているところは'Fy'では'y'になっている。そしてその違いしかない。ざっくり言うとこんな感じ。
  例
  Fx : x is proud of the team.
  Fy : y is proud of the team.
  
  Fx : x is proud of z
  Fy : y is proud of z
  
  Fx : x is proud of x
  Fy : y is proud of y
  
  
• ちょっと変わった例、もし、proud of x をいいたいとしよう。すると、
  Fx：x is proud of x
  Fy：y is proud of x
  こうなる。
  
  
• これらを term abstraction を使って、整理してみよう。
  
• まず'Fx'じゃなくて、'F'単体を考えることにする。term lettersだ。
  
• そして、'F'のterm abstractを考える。上の例は次のようになる。
  {w: w is proud of the team}
  {w: w is proud of z}
  {w: w is proud of x}
  
• そしてこれをつかって'Fx'をつくるためにconcretionを実施する。
  {w: w is proud of the team}x <-> x is proud of the team
  {w: w is proud of z}x <-> x is proud of z
  {w: w is proud of x}x <-> x is proud of x
  
• さて、term abstracts は今までの真理値分析やらなんやらかんやらで何の役割ももっていなかったが、実はsubstitutionを組み立てるのに中心となる存在だ。
  
• term abstractionによる代入のrestrictionsについて。
  
  
  
  • '{w: ∃x(w is proud of x)}' という term abstract について、'Fx'と'Fy'を考える。
    Fx : ∃x(x is proud of x)
    Fy : ∃x(y is proud of x)
    これ、同じものを表していない。
    'Fx' は自分を誇りに思う人がいる、ということをいっており、xについては何もかたっていない。
    'Fy' はxを誇りに思う人があいる、ということをいっている。
    
  • というわけで、first restriction。
    a term abstract の中でquantifiersが使われている場合、the quantifiersが使っているvariablesは、the abstract の concretion 用 variable としてはいけない。
    
    
  • 逆もある。'∀x Fx -> Fy' でまず 'F' に an abstract を substitute することを考えよ。
    ∀x {w: w is proud of the team}x -> {w: w is proud of the team}y
    ∀x (x is proud of the team) ->. y is proud of the team.
    これはよい。
    
    ∀x {w: w is proud of the x}x -> {w: w is proud of x}y
    ∀x (x is proud of x) ->. y is proud of x.
    これは、だめ。the term abstract の外側の the quantifier に abstract の中の x が捕捉されちゃう。
    
    
  • ようするに、abstracts の substitution を考えるときは、quantifiers の variables に捕捉されないように注意せよ、ということ。
    
  
  
• なんとなく、Quine の論理学において、substitution 周辺がどういう概念整理になっているかは分かった。
  
  
  
  • まず、substitution というのは、schemata を 自然言語(のsentence)に戻すことを指す。または、schemata の利用として、自然言語(のsentence)を作成することを指す。
    
  • 'p'などの sentence letters は、単に自然言語の sentences で代替(substitute)すればよい。これは substitution。
    
  • 'F'などの term letters (of Boolean schemata) は、単に自然言語の general terms で代替(substitute)すればよい。これも substitution。
    
  • 'Fx'などの open sentences は、これを'F''x'と分解し、まず'F'を an term abstract で表し、それを'x'で concretion するもとのする。すなわち、これは substitution だけでなく concretion も含む。
    
    
  • substitution とは別に、concretion という概念がある(既出)。Quine の論理学において、variables とは cross-references のための 代名詞 に過ぎない。その代名詞に具体的な name を入れることを、concretion と呼ぶ。(ただし、本に出てくる schemata には、代名詞で concretion していると思えるものもある)
    
    
  • され、これらと関係しているのは、interpretation である。
    
  • interpretation は、ここまででいうと、真理値分析(truth-value analysis)のためのものである。
    
  • 大枠から言うと、まず、truth-functional schemata の interpretation は、それぞれの sentence letters を実際の sentences に特定することである。なので、上の substitution と同じといっていいのかもしれない。ただし、真理値分析においては、sentences を特定することと、sentence lettersに T または ⊥ に取り替える(supplant)ことは同じであり、真偽値が確定しているものは、これらで代替する。
    
  • さて、Boolean schemata の interpretation は、universes of discourse と objects を特定した上でできるsentenceをどう真偽値に取り替えるか(supplant)ということである。
    ここで、term letters は objects に対して true/false of となるような言語要素であって、objects を「代入する」というような意味はもっていない。「代入する」を定義していないので、曖昧なのですが、、、
    
  • variables が bound/unbound(free) というのは、quantifiers に関して、である。なので、プログラミング言語におけるboundとは違うものである。それはどちらかと言えば、interpretationに近い(あくまでどちらかと言えば)。
    
  
  

だんだん自分の中で語彙が整備されてきた感じ。
そういえば、Common Lisp をはじめたときも、語彙が形成されるまではちょっと時間がかかったなぁ。同じようなものか。
こつこつ。

【MoL】25 Validity Again

この章は calculus の手法に関することなので、後日やることにする。
次の章が遂に 'substitution' なので、そっちへ急ごう。プログラム検証論で一番もやもやしていたのが、このあたりなので。

このあたりはプログラム検証論に関わらずもやもやしていて、

• assignment
  
• substitution
  
• unification/instatiation
  
• term rewriting
  
• variable bindings
  

が、どういう相互関係であるかを精確に捉えられていない。ばらばらにしか理解していない。

こつこつ。

【MoL】24 Prenexity and Purity

• お、schema のことを formula とも呼ぶんだな。
  
• prenex form : monadic quantificational schemata の形態。すべての quantifiers が先頭に来ているもの。
  
• pure form : monadic quantificational schemata の形態。quantifiers について、それぞれの a quantifier のスコープの中には、the quantifier がもつ the variable について free occurrences を含むもののみを含むようにしたもの。
  
  
• このような form の変形に、the rules of passage を使う。
  例： a prenex form へ変換。
  p <-> ∀x[Fx -> ∃y(Fy . Gx)].
  p -> ∀x[Fx -> ∃y(Fy . Gx)] . ∀x[Fx -> ∃y(Fy . Gx)] -> p. [paraphrasing a biconditional]
  p -> ∀x[Fx -> ∃y(Fy . Gx)] . ∀z[Fz -> ∃w(Fw . Gz)] -> p. [reletting]
  ∀x[ p ->. Fx -> ∃y(Fy . Gx)] . ∃z[Fz -> ∃w(Fw . Gz) .-> p]. [the rules of passage]
  ∀x∃z[ p ->. Fx -> ∃y(Fy . Gx) : Fz -> ∃w(Fw . Gz) .-> p]. [the rules of passage]
  ∀x∃z[ p -> ∃y(Fx ->. Fy . Gx) . ∃w(Fz ->. Fw . Gz) .-> p]. [the rules of passage]
  ∀x∃z[ ∃y(p ->: Fx ->. Fy . Gx) . ∀w(Fz ->. Fw . Gz :-> p)]. [the rules of passage]
  ∀x∃z∃y∀w(p ->: Fx ->. Fy . Gx :. Fz ->. Fw . Gz :-> p). [the rules of passage]
  
  例：a pure form への変換。
  ∃x(Fx . p .∨. Fx . Gx).
  ∃x(Fx . p) ∨ ∃x(Fx . Gx). [distributiveness]
  ∃xFx . p . ∨ ∃x(Fx . Gx). [the rules of passage]
  
  例：a pure form への変換。
  ∀x[∃y(Fx <-> Gy) ∨ ∃yFy] . ∀x(Fx ∨ Gx).
  ∀x∃y(Fx <-> Gy) ∨ ∃yFy . ∀x(Fx ∨ Gx). [the rules of passage]
  ∀x[∃y(Fx . Gy)∨∃y(-Fx . -Gy)] ∨ ∃yFy . ∀x(Fx ∨ Gx). [paraphrasing a biconditional]
  ∀x[Fx . ∃yGy .∨.-Fx .∃y -Gy] ∨ ∃yFy . ∀x(Fx ∨ Gx). [the rules of passage]
  ※[]の中を conjunction normal formに変形
  Fx . ∃yGy .∨.-Fx . ∃y -Gy
  (Fx . ∃yGy) ∨ (-Fx . ∃y -Gy)
  (Fx . ∃yGy) ∨ (-Fx . ∃y -Gy)
  (Fx ∨ (-Fx . ∃y-Gy)) . (∃yGy ∨ (-Fx . ∃y-Gy))
  [(Fx ∨ -Fx) . (Fx ∨ ∃y-Gy)] . [(∃yGy ∨ -Fx) . (∃yGy ∨ ∃y-Gy)]
  Fx ∨ ∃y-Gy . ∃yGy ∨ -Fx . ∃yGy ∨ ∃y-Gy
  ∀x[Fx ∨ ∃y-Gy . ∃yGy ∨ -Fx . ∃yGy ∨ ∃y-Gy] ∨ ∃yFy . ∀x(Fx ∨ Gx).
  ∀x(Fx ∨ ∃y-Gy) . ∀x(∃yGy ∨ -Fx) . ∃yGy ∨ ∃y-Gy .∨ ∃yFy : ∀x(Fx ∨ Gx). [the rules of passage and distributiveness]
  ∀xFx ∨ ∃y-Gy . ∃yGy ∨ ∀x-Fx . ∃yGy ∨ ∃y-Gy .∨ ∃yFy : ∀x(Fx ∨ Gx). [the rules of passage]
  
  
• a monadic quantificational schema は、stacked quantifiers がある限り、impurities を持つ。
  
• monadic schemata が closed であるならば、pure にできる。open だとできるとは限らない。
  
  
• これらの話は、monadic な限り必須ではない。これは、'Fxy'といった polyadic schemata を導入するための準備である。
  

こつこつ。

【MoL】23 Rules of Passage. Monadic Schemata (3)

• quantifiers の結合範囲に関する注意。
  
  '∃x(Fx -> p)' と '∃x Fx -> p' は違うよ。
  自然言語で言うと、
  There is something x such that if Fx then p.
  If there is something x such that Fx then p.
  という違い。
  
  '∀x(Fx -> p)' と '∀x Fx -> p' は違うよ。
  自然言語で言うと、
  Everything x is such that if Fx then p.
  If everything x is such that Fx then p.
  
  
• 自然言語において、'any'と'every'の違いというのは、あまり体系的ではないし、謎めいてもいる。
  
• しかしながら、ひとつ言えるのは、quantifiers による表現にて対比すると、'any'は結合範囲が広くて、'every'の方が狭いということ。全てのpoemsを the universe of discourse とした例。
  'I do not know any poem.', ∀x-(I know x).
  'I do not know every poem.', -∀x(I know x).
  なるほど。
  
  
• Rules of passage の続き。
  
  
  
  • (9) ∀x-Fx, -∃xFx.
    
    これは自明。
    
    
  • (10) ∃x-Fx, -∀xFx.
    
    これも自明。
    
  
  
• 話は進む。'p' のところに'y'を含む an open sentence が来ることも可能だろう。それはもっと外側に'y'に関するan quantifier がある場合だ。自然言語でいうとどういう場合かというと、
  
  There is someone who, if anyone contributes, will be surprised.
  
  という場合。なにかしらシニカルな人を表している、ということを補足しておく。さて、これを quantification に変形していく。
  
  ∃y(if anyone contributes, y will be surprised).
  ∃y(∀x(x contributes -> y will be surprised)).
  
  なるほど。
  
  
• さて、open sentences について考える。
  
  
  
  • open sentences は terms ではないが、terms のように、いろいろな objects において true of や false of となるものである。
    
  • そこで、terms のときに導入した the extension of a term という概念を open sentences にも拡張してしまおう。 the extension of an open sentence ということだ。
    
  • すると、"The extension of an open sentence is the class of all the objects of which the open sentence is true." となる。
    
  
  
• さらなる拡張。'p'とか'q'というthe schematic letters は、これまで statements を表していたが、これ以降は、open sentences も表すことにしよう。これらを、sentence letters と呼ぶことにする。a statement は a closed sentence だから、sentence つながりということでいいのかなぁ。
  
• 'x' すなわち variablesは、'p'と'F'、すなわち sentences や terms と大きな違いがあることに注意せよ。'x' は sentences の中に表われることができる。'p'や'F'は sentences の中に表われることができない。あれ? Fx は an open sentence であり、それゆえ、terms は sentence の中に表われることができると言えるのではないか??? 考える。。。そうか、'Fx' というのは 'x' を含む未分析の a sentence を表わしているという意味ではそうだが、'x' が如く'F'単体をsentences の中で使うことはできないな。そういう意味なら、そうだ。
  
• variables についての注意。論理学における variables は数学の variables とは完全に別物である。variables は単に代名詞である。文の中での cross-reference を明示するためだけのものだ。数学のように、それが時間にともなって変化する量を表していたり、方程式を解いて値を求めるべき未知数を表していたりするわけではない。
  
  
• ここまでで、the monadic quantificational schemata が構築できた。整理してみよう。
  
  
  
  • closed sentences 'p' 'q' etc.、open sentences 'Fx' 'Gx' 'Fy' etc. に quantifiers や the truth-functional notations を適用することによって、できるのが、the monadic quantificational schemata である。
    
  • その validity は、it comes out true under all interpretation in all nonempty universes とする。
    
  • consistency, implication and equivalence も validity と同様に以前の定義を採用する。
    
  • term letters の解釈は、objects in the universe それぞれにおいて、to be true of または to be false of となるものである。
    
  • sentence letters の解釈は、それに真偽値を割り当てることで決まる。
    
  • free variables については、some objects in the universe を割り当てることを解釈とする。
    
  
  
  
• monadic というのは、open sentences が Fx や Gy というように、a variable しか含まないことを差す。まだ、Fxy という表現を許していないということ。
  

しまった。本が分解してきた。。。結構な古本だからなぁ。修復キットとかあるのかなぁ。

こつこつ。

【MoL】23 Rules of Passage. Monadic Schemata (2)

• さて、Rules of passage の確認
  
  
  
  • (1) ∃x(p . Fx), p . ∃xFx.
    
    これは先のエントリで確認した。
    
    
  • (2) ∀x(p . Fx), p . ∀xFx.
    
    これは'∀'が'∃'から構成したものだからいけそうだな。念のため確認しよう。変形していってみる。
    
    ∀x(p . Fx).
    -∃x-(p . Fx).
    -∃x(-p ∨ -Fx). [DeMorgan's law]
    -∃x-p ∨ -∃x-Fx. [distributiveness of quantification]
    p ∨ ∀Fx.
    
    あれ? おかしい。そうか distributiveness of quantification は、
    
    ∃ は alternation
    ∀ は conjunction
    
    という組み合わせでしか成立しないんだ。やり直し。
    
    ∀x(p . Fx).
    ∀xp . ∀xFx. [distributiveness of quantification]
    p . ∀Fx.
    
    身もフタもないような。。。まあ、いいや。
    
    
  • (3) ∃x(p ∨ Fx), p ∨ ∃xFx.
    
    確認する。
    
    ∃x(p ∨ Fx).
    ∃xp ∨ ∃xFx. [distributiveness of quantification]
    p ∨ ∃xFx.
    
    
  • (4) ∀x(p ∨ Fx), p ∨ ∀xFx.
    
    確認する。
    
    ∀x(p ∨ Fx).
    -∃x-(p ∨ Fx).
    -∃x(-p . -Fx). [DeMorgan's law]
    -(-p . ∃x-Fx). [(1)]
    p ∨ -∃x-Fx. [DeMorgan's law]
    p ∨ ∀xFx.
    
    
  • (5) ∃x(p -> Fx), p -> ∃xFx.
    
    確認する。
    
    ∃x(p -> Fx).
    ∃x(-p ∨ Fx).
    ∃x(-p ∨ Fx).
    -p ∨ ∃xFx. [(3)]
    p -> ∃xFx.
    
    
  • (6) ∀x(p -> Fx), p -> ∀xFx.
    
    確認する。
    
    ∀x(p -> Fx).
    ∀x(-p ∨ Fx).
    -p ∨ ∀xFx. [(4)]
    p -> ∀xFx.
    
    
  • (7) ∃x(Fx -> p), ∀xFx -> p.
    
    お、反転してる。確認する。
    
    ∃x(Fx -> p).
    ∃x(-Fx ∨ p).
    ∃x-Fx ∨ p. [(3)]
    -∀xFx ∨ p.
    ∀xFx -> p.
    
    
  • (8) ∀x(Fx -> p), ∃xFx -> p.
    
    確認する。
    
    ∀x(Fx -> p).
    ∀x(-Fx ∨ p).
    ∀x-Fx ∨ p. [4)]
    -∃x--Fx ∨ p.
    -∃xFx ∨ p.
    ∃xFx -> p.
    
  
  

こつこつ。

論理の2つの切り口

Quineを読んでいる中での大きな気づきとして、自然言語と論理と数理論理の関係が自分なり掴めてきたということがある。

論理というのは、もともとは自然言語およびそれを使った思考の探求であったのだ。もちろん言葉ではその事は知っていたのだが、このQuineの自然言語と論理の対応に対するねちっこさというかなんというかは、体験してみないとわからない理解をくれた。思考がなんであるかの探求とは、狭義の哲学と言ってよいだろう。

ただし、もともと、という話をすると実は少々ややこしいかもしれない。もともとで言えば、数学と哲学はとても近かったし、物理学と哲学だってとても近かった。昔は物理学のことを自然哲学と呼んだ。

違う観点で気づきを述べるなら、それは、

• 言語哲学
  
• 論理学
  
• 数理論理学
  

の違いが自分のなかで見えてきたということだ。上に行くほど、人間の思考というものを自然言語と論理を丹念に調べながら探求する姿勢であり、下に行くほど数学的になる、ということ。

ここで、数学的にというのは、いわゆる公理主義的なということである。すなわち、それが現実の何を表しているかは捨象しちゃってもよい、ということだ。なので、上の方のように、自然言語との対応の精査などは必要とせず、公理からどういうシステムが生まれるかをごりごりやってしまう、ということ。

物理学と数学は数学が抽象化を進めたときに一旦分離したが、分離することによって数学はより強力なツールと化して、物理学に戻ってきた。

同じことが自然言語と数理論理にも当て嵌るようだ。

【MoL】23 Rules of Passage. Monadic Schemata

• さて、quantification というのは、次のように生まれていた。
  
  
  
  • Boolean existence schemata ∃F
    
  • a term abstract {x: Fx}
    
  • この2つを組み合わせて、∃{x: Fx}
    
  • '∃'についても'{x:'についても、それが使われるときはいつも'∃{x:'の形にできるから、
    
  • その形にすることを前提として、'∃{x:'をひとつのprefix '∃x' としてしまう。
    
  • quantification ∃x(Fx)
    
  
  
• ここで、'∃x'を使える範囲を拡張しよう。
  
• まず、Fx は何であったか。an open sentence であった。
  
• すなわち上のような生まれた経緯では、quantifier ∃xの後ろに来れるのはxを含む open sentences だけとなる。
  
• ここで、x を含まない、さらに言うと free variables を含まない closed sentences (statements) も来れるようにしてしまおう、というのがここでの拡張。
  
• 例えば、'p' を an statement とすると、
  
  ∃x(p . Fx).
  
  などだ。
  
  
• これを上のような生まれの経緯で意味を探ってみよう。
  ∃x(p . Fx).
  ∃{x: p . Fx}. (この変形に無理があるかな)
  ∃(p . F). (an statement と an term が同居しているのが気持ち悪い。)
  ...
  この探り方は、駄目な気がする。statements に∃をつけることなんて今までやってないし。
  
  
• では、quantification された後の解釈の仕方から探っていこう。
  
  
  
  • ∃x(Fx) はどう解釈すべきか。
    
  • まず、∃{x: Fx}の解釈は、{x: Fx}は a general term ということであった。そしてこれは、the term F と coextensive なのであった。すなわち、{x: Fx} ≡ F である。さらに、{x: Fx}y ≡ Fy であり、これはan statement なのであった。ということは、{x: Fx}は、a general term を、an universe of discourse におけるan object x と真偽計算に使われるFxで表していると言える。あ、このレベルでいけるかも。いってみる。
    
  • すると、{x: p . Fx}という拡張は、an object x と真偽計算に使われる p . Fxにて some general term を表しているのだが、その真偽計算において、pの真偽値は、an object x の取り方によらない。よってこれは、p . {x: Fx} と equivalent である。あ、駄目だ、これも a statement . a term だ。そんなもの今まで出てきてない。
    
  • ∃x(Fx)の読み方にチャレンジしてみよう。
    
  • さて、term abstraction の読み方は上のとおりであるとすると、quantification の読み方はどうか。
    
  • まず、∃x(Fx)の全体としてはa Boolean existence schemaである。すなわち、それ単体としてもan Boolean statement schema であり、真偽値をとる他のもの(例えば、a statement 'p')とともにtruth-functionsの部品となることができる。
    
  • ここで、Fxはthe statement の真偽計算に使われるものであり、形式としてはstatementsと同格だがxを含んでいるためan open sentence なのであった。
    
  • ここで、真偽計算につかうものをp . Fx と拡張する。'p'も'Fx'もsentencesに属しているのいい感じ。
    
  • ただし、真偽計算にあたって、pはxによらず固定値である。
    
  • ということは、∃x(p . Fx) は p . ∃x(Fx) と equivalent である。
    
    
  • なるほど。やっぱり quantification というのは重要であり、
    
    a Boolean existential schema = ∃ + a general term
    
    という分解では、ここでやっている拡張はできなくて、
    
    a Boolean existential schema = a quantifier + an open sentence
    
    とすることによって、
    
    a statement . a Boolean existence schema = a quantifier + (the statement . an open sentece)
    
    という変形を辻褄が合う形で導入できるのだ。
    
    で、このように quantifiers が statements を通過する変形に関するルールが、"Rules of passage"であり、この章の主題。
    
  
  
• うーん。ここまで、本の上では、5行で記述されている。それを理解するのに50行以上。頭が悪いと苦労が多いが、まあ、仕方なし。
  
  

こつこつ。

【MoL】22 Quantification

• 'All men are mortal.' は '∀{x: man x -> mortal x}.' と書ける。
  
  変形して確認してみる。
  
  ∀(man -> mortal)
  -∃-(man -> mortal)
  -∃-(-man ∨ mortal)
  -∃ man-mortal
  
  ほんとだ。
  
  
• 'Some books are boring.' は '∃{x: book x . boring x}.'と書ける。
  
  変形して確認してみる。
  
  ∃{x: book x . boring x}.
  ∃ book . boring.
  
  ほんとだ。
  
  
• さて、ちょっと考えてみると、functors '∃' '∀' が使われるのは term abstracts の前に限られるし、term abstracts はその前に'∃'とか'∀'がこなければ話が進まないことがわかる。
  
• '∃'はもともとBoolean term schemata の前につけて、Boolean existence schemata をつくる、というのが定義だったのであり、'∃F' は '∃{x: Fx}' と常に書き換えられるから。
  
• ということは、'∃{x:' と '∀{x:' はいつもこの組合わせで存在するのだから、これを単なる prefix にしちゃおう。'∃x' '∀x'とか。
  
• すると先のschemataは、次のように書ける。
  ∀x(man x -> mortal x).
  ∃x(book x . boring x).
  
• この prefixes '∃x' '∀x' '∃y' などを量化子 (quantifiers) と呼ぶ。そしてこれが neoclassical logic の焦点である。
  
• 量化子を使ったスタイルに移行すると、'FG'だとか'F∨G'などのBoolean compoundsは表れなくなる。そのかわりterm letters は常にvariablesを伴って表れるようになる。'Fx' 'Gy'など。
  
• これ以降、'Fx' は「free variable x を含むが、それ以上の構造は未分析な an open sentence」を表すと考えることにする。
  
• ここで 量化 を導入することは、今までの論理にとって何の足しにもならない。
  
• それは、今まではまだ'book'のような absolute or monadic terms のみを考えているからだ。
  
• 先々、'uncle' のような relative or dyadic terms を考えるときに量化子は真価を発揮する。
  
• ここではその準備のために量化子を使ったスタイルをはじめている。
  
  
• このあと、有限個のobjectsを含むuniversesにおける、'∧' '∨' と '∃' '∀' の対応を説明。
  
  

今日はここまで。

こつこつ。

【MoL】21 The Bound Variable

Quineは言語哲学方面なんだな。それで語彙が科学系と違うのか。

• さあ、ついに束縛変項(bound variables)だ。
  
• general terms というのは、名詞句的なものでも、形容詞的なものでもなんでもと、非常に幅広いものが範疇に入るものだった。
  
• ここで、複雑な構造をもつ statements についても、それがan objectに関するものであれば、the object が some general term を属性に持つというように取り扱えるようにしたい。
  
• 例えば、
  (1) "Tom used to work for the man who murdered the second husband of Tom's youngest sister."
  
  というのは、何がTomの属性となるtermかということはすぐにはわからない。ちょっと考えてみると、
  
  (2) "former employee of own youngest sister's second husband's second husband's murder"
  
  と考えられる。英語にはもっと便利な書き振りがあって、
  
  (3) "who used to work for the man who murdered the second husband of his youngest sister"
  
  のように関係節を使うと(1)からストレートに書ける。ただしここで、'his'のcross-referenceの問題が発生している。
  whoが二つあるけどどっちを参照するのか、ということ。
  
  そこで、ちょっと数学くさいが、'such that'という機構を使う。
  
  (4) "x such that x used to work for the man who murdered the second husband of x's youngest sister"
  
  2つめのwhoもsuch thatに替えると、
  
  (5) "x such that x used to work for the man y such that y murdered the second husband of x's youngest sister"
  
  
• このようなxやyを、bound variables と呼ぶ。
  
• さて、'who'、'which'、'that'、'x such that' などをつかった関係節によって、(1)の文からa general term を分離できたのだ。書き直してみる。
  
  "Tom is x such that x used to work for the man y such that y murdered the second husband of x's youngest sister"
  
  
• これでTomというobjectについて、a general term を predicate している statement になった。
  
• この分離の過程にて関係節を作ることは、'Tom'というnameを消すことによって、何かが抽出(abstracted)されたのだ。
  
• それは何かというと、それが a general term だ。an abstract object では無いことに注意せよ。というのは、これは an (abstract) object では無いから、あらゆるobjectsに対して true of と成りえるものである。
  
  
• 'x such that ...x...'という構成を'{x:...x...}'と表現することにする。この表現のことを、term abstraction と呼ぶ。
  
• term abstractionによって特定されたa general term のことを、an abstract と呼ぶ。
  
  
• さて、以上の組み立てから一般的に、
  
  {x: ...x...}y <-> ...y...
  
  である(とする)。このreductionのことを、concretion (具体化?) と呼ぶ。
  
• term abstraction と今までの表記をつなぐ。
  前項の簡単なケースでは次のように書いていいだろう。
  
  {x: x is wise} ≡ wise
  
  ということは、
  
  {x: Fx} ≡ F.
  {x: Xx}y <-> Fy.
  
  であるということだ。
  
• さて、bound variables に関わる用語の定義を。まず、bound variables が、どこで、束縛されているかというとそれは abstract たる'{x: x is wise}'の中である。何に、束縛されているかというと、prefix たる'x:'によってである。すると'x is wise'というの範囲でみればxは束縛されていない、ここでは'x'は free であるといい。
  
• また'{x: x is wise}'を an open sentence と呼ぶ。これは真にも偽にもならない。 この'x'は自然言語における代名詞の役割を果たしており、自然言語でいえば a dangling pronoun (ぶらぶら代名詞)を含むようなものである。
  
• open sentences の dangling pronouns を具体的な名前(names)で置き換えたものを、 closed sentences または statements と呼ぶ。これは真偽値をとる。
  
  
• term abstraction を使うと、今まで出てきた Boolean term schemata の異なる表現が可能になる。
  例：FG ≡ {x: Fx . Gx}. F -> G ≡ {x: Fx -> Gx}.
  
  
• Fyというのは、yという an object に対する predication の表記であった。それを term abstraction に適用したのが、{x: ...x...}y であった。ここで、predication について、別の表記を導入する。
  y ∈ {x: ....x...} .<-> ...y...
  
  
• 集合論との関係。集合論でも、∈ と abstract を使う。集合論では、...x... であるようなobjectsすべてを含むclassを{x:...x...}と書く。ここで定義したterm abstract は、現時点では、この集合論の考えとは無関係であることに注意せよ。
  
• 現時点では、というのは、集合論を導入せねばならなくなったときには、∈ と abstract は二重の役割をもつことになる。集合論では、classes を objects とみなし、term abstraction は class abstraction の機能を担っていく。
  

次はついに、quantification、量化だ！

こつこつ。

【MoL】20 Some Boolean Incidentals (2)

私にとっては衝撃的なお話。

• Quineの主張。(かなり意訳)
  
  
  
  • ブール代数 (Boolean Algebra) は駄目だ。
    
  • ブール論理は、ここでやったようにclassesを持ち出さなくても単なるtermsに関する論理として組み立てられるものだ。
    
  • 集合論を持ち出してブール論理をブール代数でやるのが 'new math' の名のもとに巷では流行っているが、集合論無しでもブール論理を組み立てられるのだから、それは鉈で豆腐を切るようなものだし、集合論無しで組み立てられるというブール論理の特性を隠蔽している。
    
  • そして、terms で組み立てた場合は、truth-functionsをそのまま使うことができて、truth-functional schemata との関係も明確である。それ自体理論の接続性からいってよいことだが、さらに副産物として、truth-functional schemata の知識がそのまま使えるし、各種技法もそのまま使える。
    
  • 論理において、集合論が必要になるのはもっと先である。思考の経済から言っても、不要な概念を導入すべきではない。
    
  • 集合論を初等教育で導入することが流行っているようであるが、集合論というのはかなり厄介でごついものである。
    
  • そんな難しくて正確な理解に時間がかかるものを、たいして説明せずに、しかも必要もないのに導入するというのはおかしいのでなはないか。
    
  
  
• これ、数学が集合論を基礎とした構造主義につきすすんでいる時代だから、当時は異端だったんだろうなぁ。今は、圏論も基礎になりえるということで、理解は得られるとは思うけど。
  
• Boolean term schemata とか Boolean existence schemata とか Boolean sentence schemata とか、見慣れないものがいろいろ出て来て理解に時間がかかっていたのだが、それをやらされていた理由がわかった。Quineは、後で種明し、というのが多いのか？
  
• 現在の評価としては、ブール代数は代数構造としてそれ自身の価値がある、そして、ブール論理を言語と論理の文脈でやるならBoolean logic of termsが適しているということかな。ただし、数理論理学の文脈では集合論の理解が前提になっているので、がんがん集合論でいってしまっていると。
  
• 思考の経済のために不要な概念は入れない、概念を絞っておいた方が理論の安全性が高い、というのは、SchemeのR5RSあたりの心持ちと似ている。
  

こつこつ。

【MoL】20 Some Boolean Incidentals

• 怒涛の記号&用語導入。おもしろそう。
  
• truth-functionsでは、単一の記号だけですべて構築できるのにいろいろな記号を導入した。それが便利だった。Boolean schemataにもいろいろ記号を導入しよう。
  
  
  
  • '∀F' : 'all is F'
    ∀F <-> -∃-F.
    
  • 'F ⊆ G' : inclusion
    F ⊆ G .<-> ∀(F -> G) <-> -∃(F-G).
    
  • 'F ≡ G' : coextensiveness
    F ≡ G .<-> ∀(F <-> G) <->. F⊆G . G⊆F <->. -∃(F-G) . - ∃(-FG).
    
  • 'F ⊂ G' : proper inclusion
    F ⊂ G .<->. F ⊆ G . - (G ⊆ F) <->. -∃(F-G) . ∃(-FG).
    
  • '≡'と'⊆'は、term schemataにも定義できる。
    
  
  
• おお！functorという用語の導入。
  
• functor: ある種の記号の名前。どういうものかというと、文法的な何かに付与されると、同じ種類の文法的な何かになるというもの。例えば、negationはfunctorである。a term schema に negation をつけると、a term schema になる。など。
  原文引用: "A functor is a sign that attaches to one or more expressions of given grammatical kind or kinds to produce an expression of a given grammatical kind."
  
• なので、truth-functionsからはじまって、上で導入した記号もすべてfunctors。
  
• copula: ある種のfunctorの名前。copulaは連結詞のこと。連結子とは主部と述部をつなげる語。'⊆'、'⊂' と '≡' がcopulasであり、'⊆' は 英語の 'are' を意味する。
  
• 注意: 'F ⊆ G' と 'F -> G' は別物。'F ≡ G' と 'F <-> G' は別物。
  
  
• この後、ブール代数に対する衝撃的なお話が、、、衝撃的すぎて、今は書けない。後日書こう。この本やっぱりすごいな。
  

こつこつ。

【MoL】19 Tests of Validity (2)

つづき。

• existential conditionalの導入。the antecedent が a Boolean existence schema か a conjunction of Boolean existence schemataであり、consequence が a Boolean existence schema である conditional のこと。
  
• (iv)
  原文まま引用。
  "An existential conditional is valid if and only if the Boolean term schema in one of the existence schemata in the antecedent implies the Boolean term schema in the consequent."
  
• これは前章の法則(ix)と法則(vi)の組み合わせそのもの。
  
  
• (v)
  原文まま引用。
  "A conjunction of Boolean statement schemata of any of the forms covered in (i)-(iv) is valid if and only if each of them comes out valid under the tests (i)-(iv)."
  
• これは、truth functions とその validity の定義から自明。
  


• さて、続いて全てのBoolean statement schemataが(i)-(v)に帰着できることを確認する。
  
• まず、truth-functionsのところでやった、equivalent なもので interchange しても schemata の validity や implication は変わらない、というのは Boolean statement schemata においても成立する。これは Boolean statement schemata というのは素材が Boolean existence schemata である truth-functional な compound でしかないので自明。
  
• さて、このことを確認した上で、Boolean statement schemata の変換手順を明確にする。
  
  
  
  • a Boolean statement schema があるとする。それをSと呼ぶ。
    例：-∃G-H . ∃FG . -> ∃FH.
    
  • Sを構成する Boolean existence schemata をそれぞれ a single statement letter と考えて('p'や'q')、Sを conjunctional normal form に変換する。
    例：-p . q . -> r.
    -(-p . q) ∨ r.
    p ∨ - q ∨ r.
    ∃G-H ∨ -∃FG ∨ ∃FH.
    
  • existence schemata における分配則を利用して、'∃'がひとつになるようにまとめる。
    例：-∃FG ∨ ∃(G-H ∨ FH).
    
  • conditionalに戻す。これはexistential conditionalである。
    例：∃FG -> ∃(G-H ∨ FH).
    
  
  

論理学って、予想してたより遥に難しいなぁ。「学」が付くものがそんなに簡単な訳ないか。

Still plodding away.

【MoL】19 Tests of Validity

• この章の目的は、Boolean statement schemataのvalidity テスト方法を確立すること。
  
• 方針は次のとおり。
  
  
  
  • Boolean existence schemataのvalidityがBoolean term schemataのvalidityに帰着できる5つの形態を明確にする。
    
  • 任意のBoolean statement schemataが前項にある5つの形態に帰着できることを確認する。
    
  
  
• まず、5つの形態
  
  
  
  • (i)
    まず原文まま引用。
    "A Boolean existence schema is valid if and only if its term schema is valid."
    
    
    
    • これは前章の法則(v)。
      
    • 自分で再構成してみる。'if'は自明。'only if' は its term schema が not valid であるとする。するとterm schema を false とする interpretation がひとつは存在することになり、ひとつ存在することは universes をある意味伝搬して、ひとつ以上の objects を含む任意の universes においてthe term schema を false とする interpretation が存在することになる。ゆえに後者が not valid であれば、前者も not valid 。
      
    
    
  • (ii)
    まず原文まま引用。
    "The negation of a Boolean existence schema is valid if and only if the term schema is inconsistent."
    
    
    
    • これは前章の法則(vi)に由来。
      
    • 自分で構成してみる。
      まず、"the negation is valid if and only if the existence schema itself is inconsistent"が言えるかどうか。
      基本から確認する。Boolean existence schemata というのは、それ自身、Boolean statement schemata である。別の言い方をすると、'∃' をterm schemataに付与すると、statement になるということだ。
      さて、negation たる'-'は、truth-functionである。真理値をとるものを引数にとり、真偽値を反転して返す。Boolean statement schemata を組み合わせて、あらたな Boolean statement schemata をつくるためのものと考えても害は無い。
      今、Boolean statement schemata の validity のテスト方法を組み立てている最中なので、この 'the negation of a Boolean existence schema' という a Boolean statement schema のvalidityについて考えるには、'∃'や'-'の定義や動機に立ち返るしかない。
      立ち返ると、'a Boolean existence schema' が 'there are at least one hoge'であるとするなら、'a Boolean existence schema is valid' は、" 'there are at least one hoge' is valid" ということであり、'the negation of a Boolean existence schema' は、'there are no hoge'であり、'the negation of a Boolean existence schema is valid' は、" 'there are no hoge' is valid "ということである。
      Boolean statement schemata の validity の定義は、any nonempty universes の any interpretation にて true ということだから、" 'there are no hoge' is valid" であるならば、'there are at least one hoge'というのはinconsistentである。これで'only if'は正しいようだ。
      
      ここで「正しい」と言っているのが、どういう論理に基づいているかということを考えると、論理学って本質的に閉じていて、無矛盾かどうかしか判断基準が無い体系だよね。観測までスコープに入れて、人工知能として考えればまた違うけど。
      
      では、'if'はどうか。ああ、これは'only if'のように読み解けば、自明ですね。
      
    • すると、もともとのお題は、
      "The existence schema is inconsistent if and only if the term schema is inconsistent."
      になる。
      
    • これは前章の法則(vi)に由来する。
      
    • 自分なりに確認してみる。
      法則(vi)は、"The existence schema is consistent if and only if the term schema is inconsistent."ということだった。これが正しいならば、お題が正しいのは自明と思えるが、丁寧に考えてみる。existence schemata と term schemata のそれぞれについて、consistent と inconsistent がどういう関係にあるかをその定義に基づいて確認すればよいだろう。
      まず term schemata の consistent と inconsistent の関係はどうか。a term schema が consistent であるということは、some universes の some interpretations にてそれが true となる、ということである。
      さて、term schemata が inconsistent であるということがどういうことかというと、本を読み返してみると、明示的な定義は無い。では、truth functions のときのconsistency と inconsistency の関係から類推して妥当な定義を考えると、a term schema が inconsistent であるというとは、any universe の all interpretations にて、それが false となるということである。
      これら定義であれば、a term schema が consistent であれば inconsistent ではないし、逆も成り立つ。
      
      次に existence schemata の consistency と inconsistency がどうかというと、'there are at least one' が付くということと、universes が nonempty に限定されるということ以外は、term schemata と同じと考えてよいだろう。するとこれもやはり truth-functional な意味で、negation の関係にある。
      よって、法則(vi)が正しいときお題が正しいとすることまたその逆が正しいとすることは、正しい。(メタメタメタ?)
      
    
    
  • (iii)
    まず原文まま引用。
    "An alternation of negations of Boolean existence schemata is valid if and only if one of those negations meets the above validity test.
    
    
    
    • まず、Boolean existence schemata においても、'the alternation of negations' は 'the negation of conjunctions'である。このことは後で確認する。
      
    • するとお題は、"A negation of conjunctions of Boolean existence schemata is valid if and only if one of those negations meets the above validity test."になる。
      
    • これは前章の法則(viii)から導くことができる。
      
    • まず、alternation と conjunction について。
      
      
      
      • ∃(F∨G) <->. ∃F ∨ ∃G は正しい。
        
      • まず∃(F∨G)がtrueということは、(F∨G)がtrue ofとなるobjectが存在するということだから、このとき∃F ∨ ∃Gもいずれかがtrue of となるobjectsが存在すると言える。よって右から左はOK。
        
      • 左から右もOKと思えるので、OK。
        
      • 次に、-∃(F ∨ G) <-> -(∃F ∨ ∃G) <->. -∃F . - ∃G は正しい。
        
      • まず、-∃(F ∨ G) と -(∃F ∨ ∃G)は、先のものの negation なので、これは正しい。
        
      • -(∃F ∨ ∃G) と-∃F . - ∃G について言うと、前者は "-( 'there are at least one object that is true of F' ∨ 'there are at least one object that is true of G')"ということであり、後者は、"-('there are at least one object that is true of F') and -('there are at least one object that is true of G)"ということである。後者のnegationは文章に組み入れることができて、"'there are no object that is true of F' and 'there are no object that is true of G"となる。後者がtrueならば、FもGも該当するobjectがまったく存在しないので、前者のnegation前はfalseとなり、前者はtrueとなる。後者がfalseならば、FまたはGもしくは双方に該当するobjectsが存在するので、前者のnegation前はtrueであり、前者はfalseとなる。■
        
      
      
    • さて次に、法則(viii)からお題を変換したものが導かれるかどうか。
      
      
      
      • 法則(viii)を再掲。"A conjunction of Boolean existence schemata is consistent so long as each of them separately is consistent."
        
        
        
        • これ自体の理解を確認。自分なりに組み立てる。まず、'each of them separately is consistent'にできるならば、'each of their term schemata separately is consistent'である。これは法則(vi)。すると、いまthemと言っているのがn個あるとしたら、n個のobjectsを含むsome universesにて、それぞれをtrueにするinterpretationが存在する。よってそのconjunctionたるthe term schemaもtrueとなる。すると、再度法則(vi)にて、the existence schemaもconsistentになる。■
          
        
        
      • だんだん慣れてきた！
        
      • で、法則(viii)によれば、one of them is inconsistentであれば、a conjunction of Boolean existence schemata is inconsistent となる。
        
      • one of them is inconsistent ということは、one of their negations is validということ。
        
      • a conjunction of Boolean existence schemata is inconsistent ということは、a negation of conjunction of Boolean existence schemata is valid ということ。
        
      • よって、so long asがiffと同じならば、■
        
      
      
    
    
  
  

こつこつ。

【MoL】18 Boolean Schemata (6)

• 法則(viii)
  
  
  
  • これも難しそう。まず原文まま引用。
    "A conjunction of boolean existence schemata is consistent so long as each of them separately is consistent."
    
  • どういう状況を指しているかというと、例えば、F-G、G-H、-FH、という3つのterm schemataがあるとする。するとこれらは個別にconsistentであったとしてもこれらのconjunctionはinconsistentである。3つのterm lettersそれぞれについて、否定も含んでいるからだ。にも関わらず、∃F-G、∃G-H、∃-FHがそれぞれconsistentであれば、これらのconjunctionはconsistentになるということ。
    
  • ああ、これは法則(iv)そのものだ。難しくなかった。
    
  • ちょっとややこしいのは逆に、term schemataの場合はinconsistentになる、ということ。法則(iv)によれば、それぞれconsistentになるならば、3つ(以上)のobjectsを含むuniverseにて、F-Gがtrue of x1であり G-Hがtrue of x2であり -FHがtrue of x3であるようにはできる。しかし、F-GG-H-FHがtrue ofとなるobjectは存在しない。なぜかというとそれぞれのobjectはa term letterに対して、true ofかnot true ofのいずれかしかなりえない。そしてこのschemataには全てのlettersの肯定と否定が現われている。なので、真には成り得ない。
    
  
  
• 法則(ix)
  
  
  
  • まず原文まま引用。
    "A Boolean existence schema is implied by a conjunction of Boolean existence schemata only if it is implied by one of them in isolation"
    
  • これ、このisolationっていうのが掴めない。説明を追ってみる。
    
  • 状況の設定。
    
    
    
    • Boolean term schemata 'A','A1',...,'An'がある。
      
    • それらに対するBoolean existence schemata '∃A','∃A1',...,'∃An'がある。
      
    • '∃A1',...,'∃An'のそれぞれは個別にはどれひとつも、'∃A'をimplyしないとする。
      
    
    
  • さて、Boolean existence schemataとBoolean term schemataはimplyの関係については等価だから、ここで'∃A1'が'∃A'をimplyしないことから、'A1'が'A'をimplyしないと言える。
    
  • ということは、'A1-A'がconsistentであると言える。なぜか? 'A1'が'A'をimplyしないということは、'-A1A'がnot validであるということ。これがnot validということは'A1-A'がtrueとなるinterpretationが存在するということだから言える。
    
  • すると、'A1-A',...,'An-A'はみなconsistentになる。
    
  • さて、法則(iv)によって、x1,...,xnをobjectsにもつuniversesのinterpretationとして'A1-A' true of x1, ... , 'An-A' true of xnを同時に実現するものが存在する。
    
  • このinterpretationにおいて、'A'はx1,...,xnのいずれにおいてもtrueにならない。よって、'∃A'はfalseである。一方、'∃A1',...,'∃An'はすべてtrueとなる。
    
  • これは、'∃A1. ... . ∃An'というconjunctionがtrueだが、'∃A'はfalseという状況である。よって、conjunction '∃A1. ... . ∃An'は'∃A'をimplyしない。
    
  • ここでわかったのは、先の状況の設定であればこういう結論になるということ。
    
  • このわかったことの対偶をとると、
    "conjunction '∃A1. ... .∃An'は'∃A'をimplyする"
    ならば
    "'∃A1',...,'∃An'のうちのどれかが個別に、'∃A'をimplyする"
    
  • ということ。
    
  • やっかいだな。。。
    
  
  
• 可変世界(changeable universes)というのは、DeMorganが1846には発案していたんだな。
  

やはり18章には一週間かかった。限量子への道程は遠い。
こつこつ。

【MoL】18 Boolean Schemata (5)

• 法則(vi)
  
  
  
  • まず原文まま引用。
    "A Boolean existence schema is consistent if and only if its term schema is consistent."
    
  • まず後者が真なら前者も真と言っているのが法則(i)。なので、'if'はOK。
    
  • 次に後者が偽であることは、its term schemaがinconsistentであるということだから、それはterm schemaをTとするinterpretationがまったく存在しないとことであり、すると前者も偽となる。よって、'only if'もOK
    
  
  
• 法則(vii)
  
  
  
  • まず原文まま引用。
    "One Boolean existence schema implies another if and only if the one term schema implies the other."
    
  • まず'if'。これは法則(vi)と同様にOK。
    
  • 次に'only if'。後者が偽であるということであり、このとき法則(iii)は、前者が偽であることの直接的な説明である。よってOK。
    
  
  

こつこつ。