【MoL】23 Rules of Passage. Monadic Schemata

• さて、quantification というのは、次のように生まれていた。
  
  
  
  • Boolean existence schemata ∃F
    
  • a term abstract {x: Fx}
    
  • この2つを組み合わせて、∃{x: Fx}
    
  • '∃'についても'{x:'についても、それが使われるときはいつも'∃{x:'の形にできるから、
    
  • その形にすることを前提として、'∃{x:'をひとつのprefix '∃x' としてしまう。
    
  • quantification ∃x(Fx)
    
  
  
• ここで、'∃x'を使える範囲を拡張しよう。
  
• まず、Fx は何であったか。an open sentence であった。
  
• すなわち上のような生まれた経緯では、quantifier ∃xの後ろに来れるのはxを含む open sentences だけとなる。
  
• ここで、x を含まない、さらに言うと free variables を含まない closed sentences (statements) も来れるようにしてしまおう、というのがここでの拡張。
  
• 例えば、'p' を an statement とすると、
  
  ∃x(p . Fx).
  
  などだ。
  
  
• これを上のような生まれの経緯で意味を探ってみよう。
  ∃x(p . Fx).
  ∃{x: p . Fx}. (この変形に無理があるかな)
  ∃(p . F). (an statement と an term が同居しているのが気持ち悪い。)
  ...
  この探り方は、駄目な気がする。statements に∃をつけることなんて今までやってないし。
  
  
• では、quantification された後の解釈の仕方から探っていこう。
  
  
  
  • ∃x(Fx) はどう解釈すべきか。
    
  • まず、∃{x: Fx}の解釈は、{x: Fx}は a general term ということであった。そしてこれは、the term F と coextensive なのであった。すなわち、{x: Fx} ≡ F である。さらに、{x: Fx}y ≡ Fy であり、これはan statement なのであった。ということは、{x: Fx}は、a general term を、an universe of discourse におけるan object x と真偽計算に使われるFxで表していると言える。あ、このレベルでいけるかも。いってみる。
    
  • すると、{x: p . Fx}という拡張は、an object x と真偽計算に使われる p . Fxにて some general term を表しているのだが、その真偽計算において、pの真偽値は、an object x の取り方によらない。よってこれは、p . {x: Fx} と equivalent である。あ、駄目だ、これも a statement . a term だ。そんなもの今まで出てきてない。
    
  • ∃x(Fx)の読み方にチャレンジしてみよう。
    
  • さて、term abstraction の読み方は上のとおりであるとすると、quantification の読み方はどうか。
    
  • まず、∃x(Fx)の全体としてはa Boolean existence schemaである。すなわち、それ単体としてもan Boolean statement schema であり、真偽値をとる他のもの(例えば、a statement 'p')とともにtruth-functionsの部品となることができる。
    
  • ここで、Fxはthe statement の真偽計算に使われるものであり、形式としてはstatementsと同格だがxを含んでいるためan open sentence なのであった。
    
  • ここで、真偽計算につかうものをp . Fx と拡張する。'p'も'Fx'もsentencesに属しているのいい感じ。
    
  • ただし、真偽計算にあたって、pはxによらず固定値である。
    
  • ということは、∃x(p . Fx) は p . ∃x(Fx) と equivalent である。
    
    
  • なるほど。やっぱり quantification というのは重要であり、
    
    a Boolean existential schema = ∃ + a general term
    
    という分解では、ここでやっている拡張はできなくて、
    
    a Boolean existential schema = a quantifier + an open sentence
    
    とすることによって、
    
    a statement . a Boolean existence schema = a quantifier + (the statement . an open sentece)
    
    という変形を辻褄が合う形で導入できるのだ。
    
    で、このように quantifiers が statements を通過する変形に関するルールが、"Rules of passage"であり、この章の主題。
    
  
  
• うーん。ここまで、本の上では、5行で記述されている。それを理解するのに50行以上。頭が悪いと苦労が多いが、まあ、仕方なし。
  
  

こつこつ。