【MoL】22 Quantification

• 'All men are mortal.' は '∀{x: man x -> mortal x}.' と書ける。
  
  変形して確認してみる。
  
  ∀(man -> mortal)
  -∃-(man -> mortal)
  -∃-(-man ∨ mortal)
  -∃ man-mortal
  
  ほんとだ。
  
  
• 'Some books are boring.' は '∃{x: book x . boring x}.'と書ける。
  
  変形して確認してみる。
  
  ∃{x: book x . boring x}.
  ∃ book . boring.
  
  ほんとだ。
  
  
• さて、ちょっと考えてみると、functors '∃' '∀' が使われるのは term abstracts の前に限られるし、term abstracts はその前に'∃'とか'∀'がこなければ話が進まないことがわかる。
  
• '∃'はもともとBoolean term schemata の前につけて、Boolean existence schemata をつくる、というのが定義だったのであり、'∃F' は '∃{x: Fx}' と常に書き換えられるから。
  
• ということは、'∃{x:' と '∀{x:' はいつもこの組合わせで存在するのだから、これを単なる prefix にしちゃおう。'∃x' '∀x'とか。
  
• すると先のschemataは、次のように書ける。
  ∀x(man x -> mortal x).
  ∃x(book x . boring x).
  
• この prefixes '∃x' '∀x' '∃y' などを量化子 (quantifiers) と呼ぶ。そしてこれが neoclassical logic の焦点である。
  
• 量化子を使ったスタイルに移行すると、'FG'だとか'F∨G'などのBoolean compoundsは表れなくなる。そのかわりterm letters は常にvariablesを伴って表れるようになる。'Fx' 'Gy'など。
  
• これ以降、'Fx' は「free variable x を含むが、それ以上の構造は未分析な an open sentence」を表すと考えることにする。
  
• ここで 量化 を導入することは、今までの論理にとって何の足しにもならない。
  
• それは、今まではまだ'book'のような absolute or monadic terms のみを考えているからだ。
  
• 先々、'uncle' のような relative or dyadic terms を考えるときに量化子は真価を発揮する。
  
• ここではその準備のために量化子を使ったスタイルをはじめている。
  
  
• このあと、有限個のobjectsを含むuniversesにおける、'∧' '∨' と '∃' '∀' の対応を説明。
  
  

今日はここまで。

こつこつ。