【MoL】19 Tests of Validity (2)

つづき。

• existential conditionalの導入。the antecedent が a Boolean existence schema か a conjunction of Boolean existence schemataであり、consequence が a Boolean existence schema である conditional のこと。
  
• (iv)
  原文まま引用。
  "An existential conditional is valid if and only if the Boolean term schema in one of the existence schemata in the antecedent implies the Boolean term schema in the consequent."
  
• これは前章の法則(ix)と法則(vi)の組み合わせそのもの。
  
  
• (v)
  原文まま引用。
  "A conjunction of Boolean statement schemata of any of the forms covered in (i)-(iv) is valid if and only if each of them comes out valid under the tests (i)-(iv)."
  
• これは、truth functions とその validity の定義から自明。
  


• さて、続いて全てのBoolean statement schemataが(i)-(v)に帰着できることを確認する。
  
• まず、truth-functionsのところでやった、equivalent なもので interchange しても schemata の validity や implication は変わらない、というのは Boolean statement schemata においても成立する。これは Boolean statement schemata というのは素材が Boolean existence schemata である truth-functional な compound でしかないので自明。
  
• さて、このことを確認した上で、Boolean statement schemata の変換手順を明確にする。
  
  
  
  • a Boolean statement schema があるとする。それをSと呼ぶ。
    例：-∃G-H . ∃FG . -> ∃FH.
    
  • Sを構成する Boolean existence schemata をそれぞれ a single statement letter と考えて('p'や'q')、Sを conjunctional normal form に変換する。
    例：-p . q . -> r.
    -(-p . q) ∨ r.
    p ∨ - q ∨ r.
    ∃G-H ∨ -∃FG ∨ ∃FH.
    
  • existence schemata における分配則を利用して、'∃'がひとつになるようにまとめる。
    例：-∃FG ∨ ∃(G-H ∨ FH).
    
  • conditionalに戻す。これはexistential conditionalである。
    例：∃FG -> ∃(G-H ∨ FH).
    
  
  

論理学って、予想してたより遥に難しいなぁ。「学」が付くものがそんなに簡単な訳ないか。

Still plodding away.