【MoL】19 Tests of Validity

• この章の目的は、Boolean statement schemataのvalidity テスト方法を確立すること。
  
• 方針は次のとおり。
  
  
  
  • Boolean existence schemataのvalidityがBoolean term schemataのvalidityに帰着できる5つの形態を明確にする。
    
  • 任意のBoolean statement schemataが前項にある5つの形態に帰着できることを確認する。
    
  
  
• まず、5つの形態
  
  
  
  • (i)
    まず原文まま引用。
    "A Boolean existence schema is valid if and only if its term schema is valid."
    
    
    
    • これは前章の法則(v)。
      
    • 自分で再構成してみる。'if'は自明。'only if' は its term schema が not valid であるとする。するとterm schema を false とする interpretation がひとつは存在することになり、ひとつ存在することは universes をある意味伝搬して、ひとつ以上の objects を含む任意の universes においてthe term schema を false とする interpretation が存在することになる。ゆえに後者が not valid であれば、前者も not valid 。
      
    
    
  • (ii)
    まず原文まま引用。
    "The negation of a Boolean existence schema is valid if and only if the term schema is inconsistent."
    
    
    
    • これは前章の法則(vi)に由来。
      
    • 自分で構成してみる。
      まず、"the negation is valid if and only if the existence schema itself is inconsistent"が言えるかどうか。
      基本から確認する。Boolean existence schemata というのは、それ自身、Boolean statement schemata である。別の言い方をすると、'∃' をterm schemataに付与すると、statement になるということだ。
      さて、negation たる'-'は、truth-functionである。真理値をとるものを引数にとり、真偽値を反転して返す。Boolean statement schemata を組み合わせて、あらたな Boolean statement schemata をつくるためのものと考えても害は無い。
      今、Boolean statement schemata の validity のテスト方法を組み立てている最中なので、この 'the negation of a Boolean existence schema' という a Boolean statement schema のvalidityについて考えるには、'∃'や'-'の定義や動機に立ち返るしかない。
      立ち返ると、'a Boolean existence schema' が 'there are at least one hoge'であるとするなら、'a Boolean existence schema is valid' は、" 'there are at least one hoge' is valid" ということであり、'the negation of a Boolean existence schema' は、'there are no hoge'であり、'the negation of a Boolean existence schema is valid' は、" 'there are no hoge' is valid "ということである。
      Boolean statement schemata の validity の定義は、any nonempty universes の any interpretation にて true ということだから、" 'there are no hoge' is valid" であるならば、'there are at least one hoge'というのはinconsistentである。これで'only if'は正しいようだ。
      
      ここで「正しい」と言っているのが、どういう論理に基づいているかということを考えると、論理学って本質的に閉じていて、無矛盾かどうかしか判断基準が無い体系だよね。観測までスコープに入れて、人工知能として考えればまた違うけど。
      
      では、'if'はどうか。ああ、これは'only if'のように読み解けば、自明ですね。
      
    • すると、もともとのお題は、
      "The existence schema is inconsistent if and only if the term schema is inconsistent."
      になる。
      
    • これは前章の法則(vi)に由来する。
      
    • 自分なりに確認してみる。
      法則(vi)は、"The existence schema is consistent if and only if the term schema is inconsistent."ということだった。これが正しいならば、お題が正しいのは自明と思えるが、丁寧に考えてみる。existence schemata と term schemata のそれぞれについて、consistent と inconsistent がどういう関係にあるかをその定義に基づいて確認すればよいだろう。
      まず term schemata の consistent と inconsistent の関係はどうか。a term schema が consistent であるということは、some universes の some interpretations にてそれが true となる、ということである。
      さて、term schemata が inconsistent であるということがどういうことかというと、本を読み返してみると、明示的な定義は無い。では、truth functions のときのconsistency と inconsistency の関係から類推して妥当な定義を考えると、a term schema が inconsistent であるというとは、any universe の all interpretations にて、それが false となるということである。
      これら定義であれば、a term schema が consistent であれば inconsistent ではないし、逆も成り立つ。
      
      次に existence schemata の consistency と inconsistency がどうかというと、'there are at least one' が付くということと、universes が nonempty に限定されるということ以外は、term schemata と同じと考えてよいだろう。するとこれもやはり truth-functional な意味で、negation の関係にある。
      よって、法則(vi)が正しいときお題が正しいとすることまたその逆が正しいとすることは、正しい。(メタメタメタ?)
      
    
    
  • (iii)
    まず原文まま引用。
    "An alternation of negations of Boolean existence schemata is valid if and only if one of those negations meets the above validity test.
    
    
    
    • まず、Boolean existence schemata においても、'the alternation of negations' は 'the negation of conjunctions'である。このことは後で確認する。
      
    • するとお題は、"A negation of conjunctions of Boolean existence schemata is valid if and only if one of those negations meets the above validity test."になる。
      
    • これは前章の法則(viii)から導くことができる。
      
    • まず、alternation と conjunction について。
      
      
      
      • ∃(F∨G) <->. ∃F ∨ ∃G は正しい。
        
      • まず∃(F∨G)がtrueということは、(F∨G)がtrue ofとなるobjectが存在するということだから、このとき∃F ∨ ∃Gもいずれかがtrue of となるobjectsが存在すると言える。よって右から左はOK。
        
      • 左から右もOKと思えるので、OK。
        
      • 次に、-∃(F ∨ G) <-> -(∃F ∨ ∃G) <->. -∃F . - ∃G は正しい。
        
      • まず、-∃(F ∨ G) と -(∃F ∨ ∃G)は、先のものの negation なので、これは正しい。
        
      • -(∃F ∨ ∃G) と-∃F . - ∃G について言うと、前者は "-( 'there are at least one object that is true of F' ∨ 'there are at least one object that is true of G')"ということであり、後者は、"-('there are at least one object that is true of F') and -('there are at least one object that is true of G)"ということである。後者のnegationは文章に組み入れることができて、"'there are no object that is true of F' and 'there are no object that is true of G"となる。後者がtrueならば、FもGも該当するobjectがまったく存在しないので、前者のnegation前はfalseとなり、前者はtrueとなる。後者がfalseならば、FまたはGもしくは双方に該当するobjectsが存在するので、前者のnegation前はtrueであり、前者はfalseとなる。■
        
      
      
    • さて次に、法則(viii)からお題を変換したものが導かれるかどうか。
      
      
      
      • 法則(viii)を再掲。"A conjunction of Boolean existence schemata is consistent so long as each of them separately is consistent."
        
        
        
        • これ自体の理解を確認。自分なりに組み立てる。まず、'each of them separately is consistent'にできるならば、'each of their term schemata separately is consistent'である。これは法則(vi)。すると、いまthemと言っているのがn個あるとしたら、n個のobjectsを含むsome universesにて、それぞれをtrueにするinterpretationが存在する。よってそのconjunctionたるthe term schemaもtrueとなる。すると、再度法則(vi)にて、the existence schemaもconsistentになる。■
          
        
        
      • だんだん慣れてきた！
        
      • で、法則(viii)によれば、one of them is inconsistentであれば、a conjunction of Boolean existence schemata is inconsistent となる。
        
      • one of them is inconsistent ということは、one of their negations is validということ。
        
      • a conjunction of Boolean existence schemata is inconsistent ということは、a negation of conjunction of Boolean existence schemata is valid ということ。
        
      • よって、so long asがiffと同じならば、■
        
      
      
    
    
  
  

こつこつ。