【MoL】18 Boolean Schemata (6)

• 法則(viii)
  
  
  
  • これも難しそう。まず原文まま引用。
    "A conjunction of boolean existence schemata is consistent so long as each of them separately is consistent."
    
  • どういう状況を指しているかというと、例えば、F-G、G-H、-FH、という3つのterm schemataがあるとする。するとこれらは個別にconsistentであったとしてもこれらのconjunctionはinconsistentである。3つのterm lettersそれぞれについて、否定も含んでいるからだ。にも関わらず、∃F-G、∃G-H、∃-FHがそれぞれconsistentであれば、これらのconjunctionはconsistentになるということ。
    
  • ああ、これは法則(iv)そのものだ。難しくなかった。
    
  • ちょっとややこしいのは逆に、term schemataの場合はinconsistentになる、ということ。法則(iv)によれば、それぞれconsistentになるならば、3つ(以上)のobjectsを含むuniverseにて、F-Gがtrue of x1であり G-Hがtrue of x2であり -FHがtrue of x3であるようにはできる。しかし、F-GG-H-FHがtrue ofとなるobjectは存在しない。なぜかというとそれぞれのobjectはa term letterに対して、true ofかnot true ofのいずれかしかなりえない。そしてこのschemataには全てのlettersの肯定と否定が現われている。なので、真には成り得ない。
    
  
  
• 法則(ix)
  
  
  
  • まず原文まま引用。
    "A Boolean existence schema is implied by a conjunction of Boolean existence schemata only if it is implied by one of them in isolation"
    
  • これ、このisolationっていうのが掴めない。説明を追ってみる。
    
  • 状況の設定。
    
    
    
    • Boolean term schemata 'A','A1',...,'An'がある。
      
    • それらに対するBoolean existence schemata '∃A','∃A1',...,'∃An'がある。
      
    • '∃A1',...,'∃An'のそれぞれは個別にはどれひとつも、'∃A'をimplyしないとする。
      
    
    
  • さて、Boolean existence schemataとBoolean term schemataはimplyの関係については等価だから、ここで'∃A1'が'∃A'をimplyしないことから、'A1'が'A'をimplyしないと言える。
    
  • ということは、'A1-A'がconsistentであると言える。なぜか? 'A1'が'A'をimplyしないということは、'-A1A'がnot validであるということ。これがnot validということは'A1-A'がtrueとなるinterpretationが存在するということだから言える。
    
  • すると、'A1-A',...,'An-A'はみなconsistentになる。
    
  • さて、法則(iv)によって、x1,...,xnをobjectsにもつuniversesのinterpretationとして'A1-A' true of x1, ... , 'An-A' true of xnを同時に実現するものが存在する。
    
  • このinterpretationにおいて、'A'はx1,...,xnのいずれにおいてもtrueにならない。よって、'∃A'はfalseである。一方、'∃A1',...,'∃An'はすべてtrueとなる。
    
  • これは、'∃A1. ... . ∃An'というconjunctionがtrueだが、'∃A'はfalseという状況である。よって、conjunction '∃A1. ... . ∃An'は'∃A'をimplyしない。
    
  • ここでわかったのは、先の状況の設定であればこういう結論になるということ。
    
  • このわかったことの対偶をとると、
    "conjunction '∃A1. ... .∃An'は'∃A'をimplyする"
    ならば
    "'∃A1',...,'∃An'のうちのどれかが個別に、'∃A'をimplyする"
    
  • ということ。
    
  • やっかいだな。。。
    
  
  
• 可変世界(changeable universes)というのは、DeMorganが1846には発案していたんだな。
  

やはり18章には一週間かかった。限量子への道程は遠い。
こつこつ。