【MoL】23 Rules of Passage. Monadic Schemata (3)

• quantifiers の結合範囲に関する注意。
  
  '∃x(Fx -> p)' と '∃x Fx -> p' は違うよ。
  自然言語で言うと、
  There is something x such that if Fx then p.
  If there is something x such that Fx then p.
  という違い。
  
  '∀x(Fx -> p)' と '∀x Fx -> p' は違うよ。
  自然言語で言うと、
  Everything x is such that if Fx then p.
  If everything x is such that Fx then p.
  
  
• 自然言語において、'any'と'every'の違いというのは、あまり体系的ではないし、謎めいてもいる。
  
• しかしながら、ひとつ言えるのは、quantifiers による表現にて対比すると、'any'は結合範囲が広くて、'every'の方が狭いということ。全てのpoemsを the universe of discourse とした例。
  'I do not know any poem.', ∀x-(I know x).
  'I do not know every poem.', -∀x(I know x).
  なるほど。
  
  
• Rules of passage の続き。
  
  
  
  • (9) ∀x-Fx, -∃xFx.
    
    これは自明。
    
    
  • (10) ∃x-Fx, -∀xFx.
    
    これも自明。
    
  
  
• 話は進む。'p' のところに'y'を含む an open sentence が来ることも可能だろう。それはもっと外側に'y'に関するan quantifier がある場合だ。自然言語でいうとどういう場合かというと、
  
  There is someone who, if anyone contributes, will be surprised.
  
  という場合。なにかしらシニカルな人を表している、ということを補足しておく。さて、これを quantification に変形していく。
  
  ∃y(if anyone contributes, y will be surprised).
  ∃y(∀x(x contributes -> y will be surprised)).
  
  なるほど。
  
  
• さて、open sentences について考える。
  
  
  
  • open sentences は terms ではないが、terms のように、いろいろな objects において true of や false of となるものである。
    
  • そこで、terms のときに導入した the extension of a term という概念を open sentences にも拡張してしまおう。 the extension of an open sentence ということだ。
    
  • すると、"The extension of an open sentence is the class of all the objects of which the open sentence is true." となる。
    
  
  
• さらなる拡張。'p'とか'q'というthe schematic letters は、これまで statements を表していたが、これ以降は、open sentences も表すことにしよう。これらを、sentence letters と呼ぶことにする。a statement は a closed sentence だから、sentence つながりということでいいのかなぁ。
  
• 'x' すなわち variablesは、'p'と'F'、すなわち sentences や terms と大きな違いがあることに注意せよ。'x' は sentences の中に表われることができる。'p'や'F'は sentences の中に表われることができない。あれ? Fx は an open sentence であり、それゆえ、terms は sentence の中に表われることができると言えるのではないか??? 考える。。。そうか、'Fx' というのは 'x' を含む未分析の a sentence を表わしているという意味ではそうだが、'x' が如く'F'単体をsentences の中で使うことはできないな。そういう意味なら、そうだ。
  
• variables についての注意。論理学における variables は数学の variables とは完全に別物である。variables は単に代名詞である。文の中での cross-reference を明示するためだけのものだ。数学のように、それが時間にともなって変化する量を表していたり、方程式を解いて値を求めるべき未知数を表していたりするわけではない。
  
  
• ここまでで、the monadic quantificational schemata が構築できた。整理してみよう。
  
  
  
  • closed sentences 'p' 'q' etc.、open sentences 'Fx' 'Gx' 'Fy' etc. に quantifiers や the truth-functional notations を適用することによって、できるのが、the monadic quantificational schemata である。
    
  • その validity は、it comes out true under all interpretation in all nonempty universes とする。
    
  • consistency, implication and equivalence も validity と同様に以前の定義を採用する。
    
  • term letters の解釈は、objects in the universe それぞれにおいて、to be true of または to be false of となるものである。
    
  • sentence letters の解釈は、それに真偽値を割り当てることで決まる。
    
  • free variables については、some objects in the universe を割り当てることを解釈とする。
    
  
  
  
• monadic というのは、open sentences が Fx や Gy というように、a variable しか含まないことを差す。まだ、Fxy という表現を許していないということ。
  

しまった。本が分解してきた。。。結構な古本だからなぁ。修復キットとかあるのかなぁ。

こつこつ。