【MoL】23 Rules of Passage. Monadic Schemata (2)

• さて、Rules of passage の確認
  
  
  
  • (1) ∃x(p . Fx), p . ∃xFx.
    
    これは先のエントリで確認した。
    
    
  • (2) ∀x(p . Fx), p . ∀xFx.
    
    これは'∀'が'∃'から構成したものだからいけそうだな。念のため確認しよう。変形していってみる。
    
    ∀x(p . Fx).
    -∃x-(p . Fx).
    -∃x(-p ∨ -Fx). [DeMorgan's law]
    -∃x-p ∨ -∃x-Fx. [distributiveness of quantification]
    p ∨ ∀Fx.
    
    あれ? おかしい。そうか distributiveness of quantification は、
    
    ∃ は alternation
    ∀ は conjunction
    
    という組み合わせでしか成立しないんだ。やり直し。
    
    ∀x(p . Fx).
    ∀xp . ∀xFx. [distributiveness of quantification]
    p . ∀Fx.
    
    身もフタもないような。。。まあ、いいや。
    
    
  • (3) ∃x(p ∨ Fx), p ∨ ∃xFx.
    
    確認する。
    
    ∃x(p ∨ Fx).
    ∃xp ∨ ∃xFx. [distributiveness of quantification]
    p ∨ ∃xFx.
    
    
  • (4) ∀x(p ∨ Fx), p ∨ ∀xFx.
    
    確認する。
    
    ∀x(p ∨ Fx).
    -∃x-(p ∨ Fx).
    -∃x(-p . -Fx). [DeMorgan's law]
    -(-p . ∃x-Fx). [(1)]
    p ∨ -∃x-Fx. [DeMorgan's law]
    p ∨ ∀xFx.
    
    
  • (5) ∃x(p -> Fx), p -> ∃xFx.
    
    確認する。
    
    ∃x(p -> Fx).
    ∃x(-p ∨ Fx).
    ∃x(-p ∨ Fx).
    -p ∨ ∃xFx. [(3)]
    p -> ∃xFx.
    
    
  • (6) ∀x(p -> Fx), p -> ∀xFx.
    
    確認する。
    
    ∀x(p -> Fx).
    ∀x(-p ∨ Fx).
    -p ∨ ∀xFx. [(4)]
    p -> ∀xFx.
    
    
  • (7) ∃x(Fx -> p), ∀xFx -> p.
    
    お、反転してる。確認する。
    
    ∃x(Fx -> p).
    ∃x(-Fx ∨ p).
    ∃x-Fx ∨ p. [(3)]
    -∀xFx ∨ p.
    ∀xFx -> p.
    
    
  • (8) ∀x(Fx -> p), ∃xFx -> p.
    
    確認する。
    
    ∀x(Fx -> p).
    ∀x(-Fx ∨ p).
    ∀x-Fx ∨ p. [4)]
    -∃x--Fx ∨ p.
    -∃xFx ∨ p.
    ∃xFx -> p.
    
  
  

こつこつ。