あせらず、ゆっくりいこう。頭の方は用語の導入が多いので、メモをとりながら。
- 前説
- 名前 (names):
Max, Claire など。
FOLの個体定項 (constant symbols) に対応している。
普通名詞 (common nouns) とも言う。 - 限定詞 (determiners):
every, some, most, the, three, no など。
普通名詞と結び付けて、名詞句 (noun phrases) をなす。 - 限量表現 (quantified expressions):
限定詞を使った名詞句のこと。 - 限量文 (quantified sentences):
限量表現を含む文のこと。 - 真理関数的結合子 (truth-functional connectives)と限量 (quantifications) の違い
限量文の真理値は、それを構成している文の真理値からは決定できない。
例えば、
Every rich actor is a good actor.
の真理値は、rich actorsという集り(collection)とgood actorsという集り(collection)の間の関係によって決まる。 - 隠れた限量 (hidden quantification):
例えば、論理的に含意する (logically implies) は非真理関数的結合子である。PとQの真理値だけでは、論理的に含意するかどうかは決まらないから。
これは限量だ。Pを真にするあらゆる状況において、Qも真になる、ということなので、状況・対象・限量を暗黙に含んでいる。 - FOLの限量子 (quantifiers of FOL):
FOLに含まれる: some, every
FOLに含まれないが、表現できる: three, no, whenever
FOLで表現できない: most, many
- 名前 (names):
- 9.1 変項と原子論理式 (Variables and atomic wffs)
- 変項 (variables):
副次的な記号 (auxiliary symbols)。
項 (term)の新種。
定項 (constants) を置けるところには変項を置ける。しかし、意味に違いがある。定項は具体的な対象を指す。変項は、限量子と述語との関連を明確にするための「場所取り (place holder)」の機能を担う。 - 原子論理式 (atomic well-formed formulas, or atomic wff)
変項の導入によって、Home(claire)などとしていたものから敷衍して、Home(x)などというものができることになる。これを原子論理式 (atomic wff) と呼ぶ。
原子論理式は文 (sentences) ではない。
限量子と一緒に使うと文になることができる。
ただし、論理式に現れる変項を束縛する限量子とともに使われた場合に限る。
- 変項 (variables):
- 9.2 限量子記号 : ∀ と ∃
- 全称限量子 (∀) (Universal quantifier):
∀xHome(x)
「すべての対象xについて (for every object x)」 - 存在限量子 (∃) (Existential quantifier):
∃xHome(x)
「ある対象xについて (for some object x)」
- 全称限量子 (∀) (Universal quantifier):
- 9.3 論理式と文 (Wffs and sentences)
- 論理式 (wffs):
Doctor(x) & Smart(x)
などは、atomic wffsを真理関数的結合子で結合したものである。atomic wffsは文じゃない。これは新種だ。
これらを論理式と呼ぶ。 - 論理式の定義:
論理式は再帰的に定義される。
P,Q,P1,...,Pnを論理式とする。νを変項とする。このとき次のものは論理式である。- ~P
- P1 & ... & Pn
- P1 | ... | Pn
- P -> Q
- P <-> Q
- ∀νP (Pの中のνは束縛される)
- ∃νP (Pの中のνは束縛される)
- ~P
- 限量子の作用域 (scope of quantifier)
変項は、自由変項 (free variable)、束縛変項(bound variable)の2つのどちらかである。
束縛をするのは限量子である。
論理式において、限量子が束縛している範囲を作用域と呼ぶ。
- 論理式 (wffs):
こつこつ。
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