【LPL】9章 限量入門 (2)

• 9.4 限量子の意味論 (Semantics for the quantifiers)
  
  
  
  • 自由変項を含む論理式 (wffs)の真理値:
    自由変項を含む論理式は、真理値をもたない。真でも偽でもない。
    
  • 充足 (satisfaction):
    
  • 充足の取扱いは論理学の方言によって微妙に異なる。
    
  • この本では次のように取扱う。
    
    
    
    • S(x)が、自由変項xのみを含む論理式であるとする。
      
    • あるobjectについてS(x)を充足するかどうか調べたいとする。
      
    • そのobjectはb という名前が指しているとする。
      
    • S(x)におけるxの自由な出現をすべてbに書換えたものをS(b)と呼ぶ。
      
    • S(b)が真ならば、そのobjectはS(x)を充足する(satisfies)という。
      
    
    
  • それを指す名前が存在しないobjectsについてはどうするか。
    
  • 一時的に名前を作ってそれを指させることによって対応する。
    
  • ∃の意味論:
    ∃xS(x)
    S(x)を充足する対象が少なくともひとつ存在する。
    
  • ∀の意味論:
    ∀xS(x)
    すべての対象がS(x)を充足する。
    
  • 談話領域 (domain of discourse):
    
    
    
    • 限量子を含んだ文の真偽は、絶対的なものではなく、相対的なものである。
      
    • なぜか。それらが充足する、ということを判定するための、なんらかの対象を含む(空でない)集合が存在することを暗黙の前提としている。それに対して相対的、ということ。
      
    • この集合を、談話領域 (domain of discourse) や限量領域 (domain of quantification) と呼ぶ。
      
    • 空な談話領域も含めてFOLを構成することもできる。しかし、それは労多くして幸少い。(Quineは空な領域も対象としていた)
      
    
    
  
  

こつこつ。