【MoL】18 Boolean Schemata

• No F are G. のようなstatementsを考えはじめたのがPart II。
  
• これは、Part Iのschemataでは表現できない。
  
• さて、FとかGは、自然言語でいうと名詞にあたる。論理学ではgeneral termsと言う。
  
• このFとかGは、いろいろなobjectsにおいて、'is true of'となるようなものである。論理学用語としては'is true of'のところを'denotes'と言う。
  
• 記法の導入。あるobject xがFであることをFxと書くことにする。
  
• すると、FxとかGxは、Part Iの真理関数的表現の素材になれて、次のようなstatementを構成できる。
  Fx.-Gx.V.Gx→Hx.
  すなわちFxは、sentence schemataの新種である。
  これをxを括り出して、次のように略記する。
  [F-GV(G→H)]x.
  
• この略記の結果でてきた-GとかG→Hとか(つまりxが略記された状態)を boolean term schemata と呼ぶ。
  
• 例えば、Fが黒いということを表し、Gが白鳥であるということを表すなら、FGは黒い白鳥を表し、F-Gは黒くて白鳥では無いものを表す。
  注意：swans *or* blackは、FVGだが、これはswans *and* black thingsを表す。swans *and* blacは、FGだが、swans *or* blackではなく単にblack swansを表す。
  
• validity、consistencyなどの概念は、truth functionalのものをそのまま採用できる。次のような感じ。
  
  
  
  • まず、'[F∨-F]xがvalidである'、の別の記法として'F∨-Fがvalidである'を許す。
    
  • さて、'Fv-F'がvalidである、ということはこのterm schemaが
    
    
    
    • 何らかのtermであるということなのだが、
      
    • それがどんなtermであるかというと、
      
    • 対象としてるschema(この例ではF∨-F)に現われる全ての文字(この例ではFのみ)に対する任意のinterpretationにおいて、
      
    • 任意のobjects x について'is true of'となるようなterm
      
    • ということ。
      
    
    
  
  
• さて、ここで'文字の任意のinterpretation'って何ですか? と。それは次のように考える。
  
  
  
  • まず、今論理的に取り扱おうとしているuniverse of discourse (お話の世界?)というものを考える。話題とか観点とかのニュアンスなのかなぁ。
    
  • いずれにしても、termsを解釈するということは、話題の特定がまず必要という程度に理解しておく。
    
  • で、universe of discourseを決めるということは、すなわち、その議論に出てくるobjectsを決める(特定する)ということだよ、と。
    
  • その上で、文字'F'のinterpretationとは、前行で特定したobjectsの中で、'F'が'is true of'となるobjects達のことである。
    
  
  
• 解釈が定義できたので、validも定義できる。
  
  
  
  • A valid term schemaとは、
    
  • 任意のchosen universeにおける
    
  • 全てのobjectsについて、
    
  • そのterm schemaにどのようなinterpretationを採用しても、
    
  • 'is true of'となるようなschemaである。
    
  • 原文は、、、
    "A valid term schema, then, is one that will come out true of all objects of any chosen universe under all interpretations, within that universe, of its term letters."
    
  
  
• consistentも定義できる。原文まま引用。
  "A consistent term schema is true of some objects of some universes under some interpretations of its term letters."
  
• implyも定義できる。原文まま引用。
  "One term schema implies another when, in every universe of discourse, every interpretation makes the second schema come out true of everything that the first comes out true of."
  
• さて、boolean term schemataは、構造としてはPart Iのtruth-functional schemataと同じなので、validityやconsistencyやimplicationを検査するのにPart Iのtruth-value analysis を使える。'p'や'q'の代わりに'F'や'G'があるという感じ。真理値分析においては'F'や'G'のところにTや⊥を入れる。'F'は'Fx'(sentence schema)の略記であることに立ち戻れば、これも不自然はない?
  

いちおう逐語的には理解したけど、イメージはもやもやしている。
この章、ごつい。この章だけで一週間かかるかもしれない。

こつこつ。