【MoL】18 Boolean Schemata (4)

• 法則(v)
  
  
  
  • まず原文まま引用。
    "A Boolean existence schema is valid if and only if its term schema is valid."
    
  • えっと、字面としては簡単。訳すまでもない。しかし意味の理解は慎重を要する。
    
  • まず、例となる記号をいれよう。
    "A Boolean existence schema ∃FG is valid if and only if its term schema FG is valid."
    
  • 言葉を端折ろう。
    "∃FG is valid if and only if FG is valid."
    
  • if and only ifはメタメタとすると、
    " '∃FG is valid' if and only if 'FG is valid' . "
    
  • '∃FG is valid'の意味は、おそらくboolean statement schemataにおけるvalidの定義を適用できて、
    "∃FG is counted valid when they come out true under all interpretation in all nonempty universes."
    これをV1とする。
    
  • 'FG is valid'は明示的に定義されていて、
    "A valid term schema FG, then, is one that will come out true of all objects of any chosen universe under all interpretations, within that universe, of its term letters."
    これをV2とする。
    
  • さてV1が真であるとするとV2も真であるか?
    。。。これは分からない。
    
  • ではV2が真であるとするとV1も真であるか?
    これは言える。なぜか。
    
    
    
    • V2は、あらゆるuniversesにおいて、あらゆるinterpretationにおいて、そのterm schemaはtrueである、ということである。いいかえると、interpretationによって、そのterm schemaを構成するterm letters(例ではFとG)が指すobjectsはいろいろありえるが、どの指し方に置いてもtrueということ。
      
    • V1は、あらゆるuniverses (nonempty)において、あらゆるinterpretationにおいて、そのexistence schemaがtrueである、ということである。いいかえると、interpretationによって、そのexistence schemaを構成するterm schemaはに出てくるterm letters(例ではFとG)が指すobjectsはいろいろありえるが、その中にはterm schemaがtrueとなる指し方が少なくとも一つはあるということ。
      
    • V2が真ならば、V1が真なのは自明かな。
      
    
    
  • では、V2が偽であるとするとV1も偽であるか?
    これも言える。
    
    
    
    • V2が偽であるということは、単純に見ると、ある単一のuniverseのある単一のinterpretationにて偽であるのがミニマムなケースと思えるが、それで済まず、偽であるinterpretationはある意味伝搬して、たくさん発生してしまう。それが先の法則(ii)。すなわち、あるterm schemaが偽になるということは、そのterm schemaを構成するterm lettersそれぞれに、Tだか⊥だかを割り当ててそのterm schema全体を⊥にする組み合わせが存在するということであり、そうであるなら、1つ以上のobjectsを含むuniverseにおいては、そのよう(term schemaが偽となるよう)にterm lettersが真偽を取るinterpretationというのは必ず存在することになる。
      
    • これは、V1が偽となることの直接的な説明である。
      
    
    
  • この法則(v)は、一見existence schemaのvalidityとterm schemaのvalidityの間には、言明として論理的強弱がありそうだが、実は'if and only if'である(用語に構わなければ'等価である')ということを述べているんだな。
    
  
  

こつこつ。