【集合】第28講 選択公理からの帰結

• 選択公理が、無限の世界の基数と序数を結ぶ。
  
• すなわち、基数の知見を序数の話題に利用したり、その逆もできるので、いろいろな定理を導出できる。
  
• では、順序数の無限っぷりについては何かわかるのか。
  
• そこで、濃度と順序数。
  
• 順序数の系列を考える。それは全ての順序数を含んでいるわけではないが、十分大きい順序数まで含んでいるとする。それ自体が整列しているのでそれを整列集合Ωと呼ぶ。
  
• で、Ωが、非可算整列集合にたいする超限順序数を含んでいるくらい大きいとき、その非可算整列集合達に対応した超限順序数の全体を考える。それはΩの部分集合であり、S1と置く。
  
• するとS1には最小限w1が存在する。
  
• なので、このw1によるΩの切片に含まれるのは、有限順序数か加算整列集合の超限順序数かである。
  
• ここで、Ωのw1切片に属する順序数を、高々2級の順序数という。おお! 順序数の系列が分類できた。
  
• 次に、順序数w1を与える整列集合の濃度をアレフ1とする。
  
• ここでアレフ1は、"アレフ0の次にくる無限濃度である"し、"Ωのw1切片の濃度がアレフ1である"と。う、わからない。
  
• で、この作業を繰返していくと、濃度の系列と超限順序数の系列ができ、かつそれらが一対一に対応していることがわかる。そして「濃度の集合は、大小関係によって、整列集合をつくる」となる。おお、ちょっとわからないところがあるが、見事だ。
  
• 「無限の生成」がおもしろい!
  
  
  
  • 有限の順序数をすべて並べた集合を考える。{1,2,3,...}
    
  • その濃度は、加算濃度アレフ0であり、その順序数はwである。
    
  • 高々2級の順序数をすべて並べた集合を考える。{1,2,...,w,...,w^w,...,w^(w^(...^(w)...),...,ε0,..,ε0^ε0,...}
    
  • その濃度は、非加算濃度アレフ1であり、その順序数はw1である。
    
  • 以下同様に、より"大きい"無限が生成されていく。
    
  
  
• こりゃ、すごいな。