【集合】第29講 連続体仮説

こつこつ、あらため、いっきに。

• 連続体仮説：アレフ1は(もしかして)アレフじゃないか?
  
• 一般連続体仮説：2^アレフa = アレフb (b = a + 1)、というのは任意のaについて成立するのでは。
  
• 「連続体仮説は、選択公理を仮定しておくならば、実数の集合Rの部分集合の中に、高々加算集合と、連続体の濃度をもつもの以外に、私たちがまだ出会ったことがないようなこの中間の濃度をもつ部分集合があるのか、と聞いていることになる」それはわかる。
  
• 「しかし、謎は、予想を越えて、はるかに深かったのである。」またですか。。。
  
• で、集合とは何かをもっと厳密に調べることになった。
  
• 演繹体系にのせるために、公理をきめた。一般的なのは、ZF公理系。
  
• すると、なんと、ZF公理系と(一般)連続体仮説は独立であることがわかった。独立であるというのは、ZFが無矛盾であればZFCも無矛盾ということを前提として
  
  
  
  • ZFCに連続体仮説を加えたものは無矛盾である。
    
  • ZFCに連続体仮説の否定を加えたものも無矛盾である。
    
  • よって、ZFCによっては、連続体仮説が成り立つかどうか判別できない。