【集合】第25講 比較可能定理、整列可能定理

実は、最後のところ、というか25〜30をいっきに読んじゃいました。
でも、なんかモヤモヤしちゃってうまくわかりませんでした。
この本と私の頭だけで、わかりきるのは無理だろうな、とは感じました。数学者さえ、戸惑っているような話題なので。
でも、せっかくなので、もうすこし理解してみたいので、続けます。

• まず、切片を用いて順序数の大小関係が定義される、と。
  
• この定義と整列集合の基本定理から、比較可能定理がみちびける。
  
• で、これはそもそもの素朴な順序の概念の性質と一致しているので、いい感じ、と。
  
• ところで、今、何しているんだけっけ?
  
• 基数とは別に、序数というものも無限にあるんだけど、その無限を調べているはず。
  
• で、順序数をやっていると。
  
• 順序数の和と積を定義した。
  
• ほいで、N={1,2,3,...}に対する超限順序数wを置いた。
  
• そうすると加算集合についての順序数(=整列順序)は無限にわらわらとでてくる。
  
• たぶん、ここで、それを調べていくにはカントル的には整列可能定理が必要に思えたのだろう。
  整列可能定理：「任意の集合は、適当な順序をいれることにより、整列集合とすることができる」
  
• ああ、違う観点でみれば、「任意の集合に、濃度が存在する」のと同じように「任意の集合に、序数が存在する」としたかったんだな。そのためには、あやゆる集合が整列可能でなければならんと。
  
• で、基数を考えているときは整列なんぞ考えなくてもよかったが、序数を考え出すと整列を求めることになると。
  

こつこつ。