【MoL】implication と equivalence の関係

• 再構築するなかで、Quineの記述が多少自分にとって弱いと思ったところ。
  
• P.62の次の部分。
  "S1 implies S2 if and only if S1 is equivalent to the conjunction of S1 and S2"
  
• これを自分なりに理解し、文章にする。
  
  
  
  • まず、'S1 implies S2'は、schemataに対するメタな言明である。
    
  • 具体的には、'S1 -> S2'がvalidである、ということ。
    
  • 同様に、'S1 is equivalent to the conjunction of S1 and S2'は、'S1 <-> S1S2'がvalidである、ということ。
    
  • よって、先の全体は、このメタな言明どうしの関係を示しているので、少なくともメタ、見方によってはメタメタな言明。
    
  • メタメタというのは、
    " 'S1->S2'がvalidである" であるならば、かつ、その場合に限り、" 'S1<->S1S2'がvalidである" である。
    ということ、メタメタはメタに集約してもいいかもですが、まあこういう見方もできる。
    
  • そこで、この言明が正しい(ここでの正しいとは何だ?)の確認をする。
    
  • 'S1 implies S2'ということは、'S1 -> S2'がvalidである、ということだったから、このschemaが常にTとなるということであった。これはS1とS2の取り得る値を制限しており、
    S1 S2
    T T
    F T
    F F
    しか起りえないというとである。さて、S1とS2がこういうものであれば、
    S1 S2 S1<->S1S2
    T T T<->TT
    F T F<->FT
    F F F<->F
    から、S1<->S1S2はvalidであることがわかる。
    次にS1とS1S2がequivalentであるということは、S1<->S1S2がvalidであるということであり、真理値分析により、S1とS2は、
    S1 S2
    T T
    F T
    F F
    しか起りえないということである。これは上の真理値表と等しいので、このとき'S1->S2'もvalidである。
    
  • すなわち、このメタメタ言明は、メタ言明によって真理値表のとりうる値を制約していることがポイントなのだ。
    
  • ただし、メタメタ言明がiffなので、結局Tとなる解釈が完全に両者一致していますよ、ということになるから、'S1->S2 . <-> . S1 <-> S1S2'というbicondtionalがvalidかどうかを確かめてもこのことは確認できる。Quineはこのように説明しているが、上の真理値の制限については言及していない。
    
  • また、ここで真理値の制限と書いて、解釈の制限と書かなかったのは理由がある。
    
  • 解釈の制限と言ってしまうと、validって何なのさ、となってしまう。なので、ここで、S1とS2の組と取りうる真理値が制限されているのは、あくまでこれらschemataが原始論理式(pとかqとか)から構成されていて、それらがとりうる解釈をすべて網羅してもS1とS2は真理関数としてのoutputとして制限されている、ということである。
    
  • うむ。すっきりした。
    
  
  
• ただし、ここでの私の理解は実戦的にはたいして意味はない。実戦的に意味があるのは、
  'p->q'が'p<->pq'とequivalentなので、これら2つのschemataを、真理値分析においていつでも入れ替えることができる、ということだろう。さて、equivalentはsubstitutionで壊れないから、より一般的には、'S1->S2'と'S1<->S1S2'をいつでも入れ替えていいよ、ということ。