【AIMAメモ】論理言語の意味論(Semantics)

意味論という言葉も厄介じゃないかなぁ。

まず、意味論として国語辞典、Semanticsとして英和辞書、英英辞書をみてももやもやしてわからない。これは例えば数学(Math)を国語辞典や英英辞典で見てもそれを理解できないのと同じことなのかな、と理解しておけばいいのだろうか。

でも、言葉としてのスケールが違うような?とも思う。

* この文のセマンティクスはどう決まっていますか?

というのが意味がありそうだと思えても、

* この文の数学はどう決まっていますか?

というのは無意味な質問に思える。数学と比してセマンティクスという言葉がスケールが小さいものにも適用できる言葉であるならば、辞書や辞典にもっと分かりやすい説明があってよいと思うのだが。。。

と考えていた。で、AIMAを読むとわかるのかわからないのか。


これが、わかるのだ。


x + y = 4 という文でAIMAは論理言語の意味論を説明している。それを私なりに咀嚼して書いてみよう。

• まず、x + y = 4という文をみて我々はこの文を頭の中に入れることができる。ただしそれは+ x y 4 =であっても同じである。それらに比してx + y = 4というのは特別である。何故特別かというとそれはこの文に対する統語論を我々は学校で「算数」という名のもとに教えてもらっているからである。逆に言うと、+ x y 4 =は、「算数」という統語論では規則違反である。
  
• 「算数」という統語論の中には、+ = 1 2 3 4などのconstantsとx yなどのvariablesが定義されており、文の構成素材として使用することができることも教えてもらっている。
  
• xとyはvariablesなので、このx + y = 4という文に対してモデル(別名で可能世界)を考えることができる。例えば、「xが1、yが2であるようなモデル(世界)」「xが2、yが2であるようなモデル(世界)」などなど。これは「算数」ではconstansが無限にあることによって、モデルの数も無限になる。ここで大事なのは、ここでモデル云々の考え方は、「算数」の中で定義されているのではなく、論理言語一般の考え方ということだ。別の言葉でいうと、「算数」というものを論理言語の考え方で捉えて語っているのがこの文章であるということ。
  
• さて、我々は x + y = 4という文において、「xが1、yが2であるモデル」ではこれが偽であり、「xが2、yが2であるモデル」ではこれが真であると言われると、それは合点がいくような気持になる。それはひとつの観点では、+ = 1 2 3 4などのconstansの意味を知っているからそれと照し合わせてそういう気持になるとも言えるが、そうすると意味って何よ?ということになってここが曖昧である。
  
• そこを考えると我々がここで「意味」と認識しているものは、結局、
  x + y = 4 という文は、
  「xが1、yが1であるモデル」にて偽、
  「xが1、yが2であるモデル」にて偽、
  「xが1、yが3であるモデル」にて真、
  「xが2、yが1であるモデル」にて偽、
  「xが2、yが2であるモデル」にて真、
  ...
  ということ自体が展開された形での「意味」そのものではないか、ということになる。
  
• すなわち、我々が「算数」という名称で教わったものは、「算数」としての文の書き方と、「算数」としてそれら文がどのようなモデルにて真偽値を取るかという対応であるということになる。この前者が「算数」の統語論(Syntax)であり、「後者」が意味論(Semantics)である。
  

スタートレックは異文化に対するイマジネーションに満ちているのでスタートレックのアナロジーを再度やってみよう。

• Mr.スポック曰く、バルカン星では子供のころに「バルカニーナ」を教わる。
  
• バルカニーナの統語論は、constansとして+ = 1 2 3 4であり、variablesとしてxとyがある。もちろん文の構造を決める他の文法規則もある。それら規則によると、x + y = 4は文とみなせるが、+ x y 4 = は違反であり文とみなせない。
  
• バルカン星人は、 x + y = 4という文において、「xが2、yが2であるモデル」ではこれが偽であり、「xが1、yが1であるモデル」ではこれが真であると言われると、それは合点がいくような気持になる。それはひとつの観点では、+ = 1 2 3 4などのconstansの意味を知っているからそれと照し合わせてそういう気持になるとも言えるが、そうすると意味って何よ?ということになってここが曖昧である。
  
• そこを考えるとバルカン星人がここで「意味」と認識しているものは、結局、
  x + y = 4 という文は、
  「xが1、yが1であるモデル」にて真、
  「xが1、yが2であるモデル」にて偽、
  「xが1、yが3であるモデル」にて偽、
  「xが2、yが1であるモデル」にて真、
  「xが2、yが2であるモデル」にて偽、
  ...
  ということ自体が展開された形での「意味」そのものではないか、ということになる。
  
• すなわち、バルカン星人が「バルカニーナ」という名称で教わったものは、「バルカニーナ」としての文の書き方と、「バルカニーナ」としてそれら文がどのようなモデルにて真偽値を取るかという対応であるということになる。この前者が「バルカニーナ」の統語論(Syntax)であり、「後者」が意味論(Semantics)である。
  

これで明確になったと思うけど駄目おしを。

Dr.マッコイ：「x + y = 4」という暗号通信をクリンゴンの偵察挺が送信していたらしい。これはどういう意味だろう。

Mr.スポック：それは意味論により異なりますね。地球人はそれを算数の意味論に従っていると盲目的に解釈しがちですが、それは理性的ではありません。

Dr.マッコイ：「x + y = 4」に理性もへったくれもあるか！

Mr.スポック：感情的にならないでください。実際にバルカン星人にとっては、その文が適格である統語論でもっとも最初に習うのは「バルカニーナ」であり、「バルカニーナ」の意味論は地球人の「算数」の意味論とは違います。さらにバルカン星人の知識の中にある別の12の統語論においても「x + y = 4」を適格と見做すことができますがね。統語論と意味論をごちゃごちゃにして初等教育を行う地球人とは、バルカン星人は大きく異なるのです。バルカン星人は常に統語論と意味論を分けて学習します。

Dr.マッコイ：君だって地球人の血が半分流れてるじゃないか！



閑話休題。

x + y = 4 の意味論を算数とする

という表現がAIMAでもあるのですが、これはちょっとリスキーなんですね。私は今までこれがわからなかった。より混乱が少いのは、

x + y = 4 の意味論を、算数という名称で君や私が習った意味論にする。(統語論が算数と一致しているということは前提としている)

という表現である。

ああ、すっきりした。