【集合】第22講 整列集合の性質

こつこつ。

• 自分が何をやっているのか、よくわからなくなってしまったので、再整理。
  
• まず、自然数は序数の機能ももっている、という経験則。
  
• 序数とは順序の数であり、順序という概念を運用するために利用できる数のこと。
  
• で、順序という概念自体そもそも何なのさ、ということをやらねばならない。
  
• 自然数Nというのは、{1,2,3,...,n,...}であり、経験則とおりに順番が付いているものとする。
  
• すると加算集合を並べるというのは、Nから対象集合への一対一写像を与えることである。
  
• 並べる、という観点から言うと、その一対一写像は次の3つに分類できる。
  
  
  
  • ぴったり：{a1,...,an,...}
    
  • 有限あふれ：{a1,...,an,...,*,...,*}
    
  • 無限あふれ：{a1,...,an,...,*,...,*,...}
    
  
  
• このように加算集合を並べる、ということは有限集合を並べる、ということとはちょっと違う。
  
• 順序数という考えを導入する。nは単一の元を表しているのではなく、1,2,3,...,nという順序のあり様の識別子であるとする。
  
• すると加算集合Nの順序数はなんですか、ということになるが、これをwと定義してしまう。これを超限順序数と呼ぶ。
  
• 自然数Nをwとしても並べられるし、w+wとしても並べられる。自然数Nの順序数はwでもあるしw+wでもある。
  
• ここで、順序というものを定義してみる。
  
• 集合Mの2つの元の間に成り立つ関係r(x,y)が与えられていて、それが次の性質を満たすとき、関係rを順序と呼び、"Mは順序集合である"という。
  
  
  
  • r(x,x)は真である。
    
  • r(x,y)とr(y,x)がともに真ならば、xとyは同一の元である。
    
  • r(x,y)とr(y,z)がともに真ならば、r(x,z)も真である。
    
  
  
• さて、順序集合は、"Mの任意の2元について順序が存在する"ことまでは求めていない。
  
• これを求めるものを全順序集合と言う。
  
• 順序集合M,Nがあり、それらの間の一対一対応が存在し、なおかつその一対一対応のうち、それぞれの順序関係を維持するものがあれば、"MとNは同型な順序集合である"という。
  
• ここで、同型な順序集合であるためには、MとNとがどのような順序関係を採用しているかによることに注意。
  
  
• 整列集合を定義する。
  
• 全順序集合Mにおいて、Mの任意の部分集合S(空集合ではない)が最小元を持つとき、Mを整列集合という。
  
• {1,2,...,n}は有限順序集合であり、整列集合。
  
• N={1,2,...,n,...}は無限順序集合であり、整列集合。
  
• wを適当な記号として、M={1,2,...,n,...,w,w+1,...,w+n,...}という新な集合を考える。順序はこの並びにしたがって定義されているとする。するとこれも整列集合。
  
• 同様にして、M'={1,2,...,n,...,w,w+1,...,w+n,...,2w,2w+1,...,2w+n,...}も整列集合。
  
• M'と同型な整列集合の例：
  {1/2, 2/3, ..., (n-1)/n,...,1,1+(1/2),...,1+(n-1)/n,...2,2+(1/2),...,2+(n-1)/n,...}
  
• この例って、3w,4w,...と無限に増やせていけるよね。
  
• すると、それぞれの区切り単位ではNと同型な整列集合であるものが、可算個つながっているようなナガーイ順番をもった行列というか整列集合ができる。それは、数直線上の点列と考えられる。
  
• とこで、区間(0,1)とR+={x|x>0}は、y=tan((π/2)x)なる写像によって同型な整列集合である。
  
• するとさっきのナガーイは、区間(0,1)内にそれと同型な整列集合を持つことになる。
  
• そいつと同型なものは、(1,2),(2,3),...にも存在している。なので、それらをつなげていくとトテモナガーイ整列集合ができて、数直線上を無限につながっている。
  
• そのトテモナガーイは、また(0,1)に同型の整列集合をもち、、、、以下(同)
  
• で、この奇妙な再帰構造があることはわかったが、それが何を意味するかはまだわからない。
  
• ちょっと調べてみる。
  
• NとMは、基数でいえば同じ加算集合だが、"同型な整列集合"ではない。
  
• これは、"同型な整列集合同士は、順序をたもつ一対一対応が存在する"ということと、"整列集合では任意の部分集合に最小元が存在する"の2つからほぼ当然。
  
• ところで、集合というのは元という区別できるものからできているということがいろいろきいていて、整列集合から最小元をひとつひとつ(ここが区別できるということ)分離していくことができる。無限集合であれば分離したものがNと同型になったときに尽きるか、Nと同型になってもまだ残りがあって、それについて分離作業をすすめるかというケースがある。
  
• さて、整列集合の性質として、帰納法がなりたつということがある。この"定理"を超限帰納法と呼ぶ。
  
• また、よく考えると、整列集合の性質として次のものがあることがわかる。
  
  
  
  • 自分への同型対応となるのは、φ(x)=xというトリビアルなものだけ。
    
  • M,Nが同型な整列集合ならば、MからNへの同型対応はただ1つしかない。
    
  
  
• すなわち、順序を保つということと任意の部分集合が最小元ともつということの縛りは強くて、そう勝手に考えられませんよ、ということ。
  
• 続いて、"整列集合の切片"の定義。
  
• ある元よりも順序が手前の元を全部集めたものを"aによる切片"という。aは含まない。
  

というようなことをやっているのか。こつこつ。