【集合】第12講 写像

こつこつ。

• 一対一写像と一対一対応は違う概念なのね。
  
• 集合Γからベキ集合β(M)への写像があるとき、その像をMの(Γを添字とする)集合族と呼ぶ。
  
• なんか、ベキ集合というのが、自分が思っていたより重要な概念なような気がしてきた。
  
• ベキ集合というのは、写像の像というものを扱うための俎に思える。
  
• 集合族というのは知らなかった。
  
• 集合族自体を集合と考えるならば、その元は添字集合Γからもとの(ペキ対象となっている)集合への写像の像である。
  
• この観点に立つとき、集合族があるとき、それに対応した写像族があることになるな。
  
• 集合族というのは、添字集合を用いて、複数の集合達の性質を調べる道具に思える。
  
• このとき、添字集合のことを如何によくわかっているかが重要なのだろう。わかっていないもので、わかっていないものを見ても何もわからないから。
  
• 集合列は添字集合がNの場合。
  
• 上極限集合 lim sup An はなんとかわかった。これは、A1∪A2∪...∪An∪...の話。これに続き、A2∪A3∪...∪An∪...などを無限に考えていき、そのどれにも含まれている元ということ。これは、除外されていく部分に着目すればわかりやすい。すなわち、有限の添字(jとする)までにしか存在しない元はlim sup Anには含まれない。なぜなら、それはAj+1∪...には含まれないから。なので、lim sup Anに含まれる元は、集合列といえば、無限の彼方の集合にも含まれている元ということになる。無限の彼方の集合にも含まれている、ということは、どこかのkでAkに含まれていつつ、それよりも大きなkでAkに含まれていることが発生しなければいけないから、結果として「無限に多くのAkに含まれている元」というのがlim sup Anの元の特徴となる。無限って厄介だな。。。
  
• 下極限集合 lim inf An がわからない。。。
  
• 考えてみる。まずこれは、A1∩A2∩...∩An∩...の話。これに含まれる元というのは、無限の彼方まで含めて、全ての集合に含まれるものである。そんなものがあったら珍しいものであり、それ以上何を考えるの?と思ってしまうが。。。
  
• で、その系列を考える、A2∩... A3∩...などなど。そしてその系列の和集合をとる。すなわち、前行の元よりは元の数が増える可能性はあるが、減る可能性はない。
  
• 除外されていく方に着目する。まずA1が除外されるので、A2∩...はA1∩...よりも条件は緩い。かつ、A1∩...に含まれている元は、必ずA2∩...にも含まれている。
  
• ここで、kを考える。k > 2として、A2∩..に含まれるなら、Ak∩...にも含まれる。よって、実は和集合で順次自然数を舐めていく、というのは意味がない。
  
• kがとんでもなく大きいときのAk∩... に含まれるということが重要。
  
• この状況で、これに含まれない元というのを日本語で表現できるか?
  
• うまく言えない。。。
  
• 含まれる元は?
  
• すべてのAkに含まれる元。。。それはA1∩...の元にすぎない。。。
  
• うーん。