【集合】第9講 2進法、3進法、...

こつこつ。

• なんだか、何やってんだかわからなくなってきたので流れを確認。
  
• えっと、素朴集合論を勉強しているのです。
  
• なんでかというと、
  
  
  
  • まず、数というものは計算機の基礎にある。整数、有理数、実数などは素朴集合論の中で整理される(部分もある)。
    
  • 集合(set)という考えは、現代数学の基礎概念のひとつになっており、これがわかっていないと他の知識を習得するのに障壁がある。(圏論による構成についてはとりあえず無視)
    
  • また、無限な対象を形式定義するための再帰の基礎知識になっている。
    
  • 素朴集合論の無限の考え方は、メタ数学というか数理論理学の理解の基礎にもなる。
    
  
  
• ということで、素朴集合論を理解することは3度も4度もおいしい。
  
• で、この本は、
  
• 素朴集合論を、無限集合の探求の視点で解き明かしてく。
  
• というもの。
  
  
  
  • まず、「集合」という考え方の形成。
    
  • 「自然数」という考え方の形成。基数と序数。無限集合の存在の是認。そして自然数の集合N。
    
  • 集合の基礎概念(演算)の整備。部分集合、ベキ集合、和集合...
    
  • 集合の個数の概念の導入。
    
  • 個数の概念の無限への拡張。(一対一対応) Nと一対一という加算集合の概念。
    
  • 加算集合の性質の調査。
    
  • 数直線の導入。
    
  • 有理数が可算集合であること。有理数の性質の調査。
    
  • 実数の概念の導入。少数展開による定義。
    
  
  
• こうしてみると、数直線が出たところから、なんで数直線だろー、とか、実数が出てきたところで、何でいきなり定義やねん、とか思ったような気がする。
  
• まあ、これは導入だからさっぱりテキトーにということなんだろう。
  
  
• で、この節は2進法、3進法とみていく。
  
• 再度それらによる実数の定義?をみていくと、それが部分集合の系列というか収束として数を定義していることが印象に残る。
  
• 進法という表記(notation)ではなく、その考え方ということ。
  
• カントル集合は、線分で考えると2/3 * 2/3 * 2/3...とどんどん短くなっていくので「霞」のような存在だが、そのなかに実にたくさんの実数があることがわかる。
  
• また、自然数展開というか自然数進法も考えられて、そのあり様は直感的にはわからないものである。